20. Уравнение динамики вращательного движения.

20. Коэффициент упругости. Модуль Юнга.

Коэффицие́нтупру́гости (иногда называют коэффициентом Гука, коэффициентом жёсткости или жёсткостью пружины) — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k^[1], иногда D^[2] или c^[3]. Имеет размерность Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Модуль Юнга (модуль упругости) — физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации^[1]. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал среды и процесса. В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на метр в квадрате или в паскалях.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:E — модуль упругости,F — сила,S — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,l — длина деформируемого стержня,  — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

где  — плотность вещества.

20. Напряжение.

Напряжение - это физическая величина, обозначающая внутренние силы, возникающие в теле под влиянием внешнего воздействия

20. Энергия упругой деформации.

Деформированное тело может совершить работу, так как оно обладает запасом потенциальной энергии, называемой упругой энергией. Она равна работе сил, затраченной на деформацию тела, не увеличивая его кинетической энергии. Для соблюдения последнего, деформацию надо производить достаточно медленно, постепенно увеличивая приложенную силу так, чтобы в любой момент времени каждая часть тела находилась в равновесии. При этом говорят, что процесс деформации является квазистатическим.

Вычислим теперь энергию упругой деформации стержня. Приложим к стержню растягивающую силу f(x) и медленно увеличим от начального значения f=0 до конечного f=F . При этом удлинение стержня будет меняться от x=0 до x=∆l . По закону Гука f(x)=kx , где k – коэффициент упругости, который помимо материала стержня зависит также от формы и размеров тела:  (16.4) 

При квазистатической деформации стержня вся работа силы f переходит в приращение упругой энергии стержня:

, (16.5)где F  – конечное значение деформирующей силы.

Если бы стержню сразу приложили постоянную силуF , то при удлинении стержня на ∆l , совершалась бы вдвое больше работы: A=F∆l . Но упругая энергия стержня все равно выражается формулой (16.5) и составляет ровно половину совершенной работы. Вторая половина расходуется на увеличение кинетической энергии упругих колебаний и волн, которые возбуждаются в стержне из-за неквазистатичности процесса деформации.

Энергия упругой деформации распределена по всему объему тела. Энергияw, приходящая на единицу объема тела, называемая объемной плотностью упругой энергии, равна:

   (16.6) 

Пользуясь законом Гука, эту формулу можно привести к виду   (16.7)

Под действием приложенной силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если поперечный размер стержня равен b, который при деформации получил приращение ∆b , то величина - ∆b/b называется относительным поперечным сжатием стержня. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона (1781-1840): (16.8) 

Заметим, что ∆b и ∆ l всегда имеют противоположные знаки – при растяжении ∆ l>0 , ∆b <0 , а при сжатии – наоборот. Так что коэффициент Пуассона – положительная величина, зависит только от материала тела и является важной характеристикой упругих свойств тела. Можно показать, что всегда μ<1/2 .

Основным видом малых деформаций является растяжение (и сжатие), поэтому модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства тел. Все прочие коэффициенты и модули упругости могут быть выражены через постоянные E и μ.