20. Параметры гармонических колебаний.

20. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний и его решение. График зависимости X(t).

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2 Колебания тела на пружине).

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х: F= - kx. (1.4)

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения: , (1.5) | . (1.6) Решением этого уравнения является гармоническая функция

20. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. График зависимости X(t).

Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например маятник). Тогда сила трения (или сопротивления)

,

где r – коэффициент сопротивления,  – скорость движения.

Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x:

,

где kx – возвращающая сила, rυ_x – сила трения. Это уравнение можно переписать:

, отсюда следует: .

Введем обозначения: .

Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающее колебательное движение, запишем так: . (3.1.1)

Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при ):

Здесь А₀ и φ₀ определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения.

Найдем круговую частоту ω. Здесь она уже не равна .

Для этого найдем первую и вторую производные от x:

,

Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на :

Сократим на  и выразим ω:

,

где ω₀ – круговая частота собственных колебаний (без затухания);       ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение (3.1.1) будет только при .

Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения ω, β, ω₀ будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и называется условным периодом затухающих колебаний.