Тема 8. Обобщенная формула трапеций

Задания

1. Доказать обобщенную формулу трапеций

,

где , а точки деления отрезка [a; b] выбраны так, что

.

2. С помощью обобщенной формулы трапеций найти приближенное значение интеграла

,

положив , и сравнить полученное приближение с точным значением 1.

Тема 9. Признаки сходимости двойных рядов

Задания

1. Изучить основные определения и понятия, связанные с двойными рядами [5].

2. Доказать следующий признак сходимости знакоположительного двойного ряда. Пусть для некоторых действительных положительных чисел и существует предел

.

Тогда при , ряд сходится; если , , ряд расходится.

3. Исследовать на сходимость следующие ряды:

, , .

Тема 10. Биноминальные разложения для функций двух переменных

Задания

1. Изучить биноминальный ряд и связанные с ним разложения [5].

2. Вывести следующие разложения в двойной ряд Тейлора для функций двух переменных:

;

;

, ;

, .

Тема 11. Обобщенная производная функции двух переменных

Теоретические сведения

Определим понятие -обобщенной производной для функции двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и – внутренняя точка этой области. -обобщенной производной функции в точке назовем предел

.

Задания

1. Доказать, что -обобщенная производная выражается через частные производные при помощи формулы

.

2. Найти -обобщенные производные для следующих функций:

, , .

Тема 12. Элементарные функции нескольких переменных

Теоретические сведения

Элементарные функции нескольких переменных будем определять как аналоги элементарных функций одной переменной с помощью соответствующих дифференциальных уравнений. При этом аналогом функции одной переменной будет служить целое семейство функций нескольких переменных. Для записи дифференциальных уравнений будем использовать обозначение . Кроме того, при записи функций нескольких переменных обозначает -мерный вектор: .

Степенная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Показательная функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Логарифмическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Тригонометрическая функция

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , , обозначение , ,

определение , определение ,

.

Функции арктангенс

Одна переменная: Несколько переменных:

обозначение , обозначение ,

дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение

. .

Задания

1. Доказать следующие формулы, связывающие основные элементарные функции нескольких переменных:

, ,

, ,

, .

2. Доказать основные формулы для элементарных функций нескольких переменных:

,

,

,

,

.