Тема 13. Обобщенные основные теоремы дифференциального исчисления для функций нескольких переменных
Задания
Доказать аналоги основных теорем дифференциального исчисления.
Теорема Ферма.
Пусть функция
определена в некоторой области
и во внутренней точке
этого промежутка принимает наибольшее
(наименьшее) значение. Если существует
конечная
-обобщенная
производная
(см. тему 11), то необходимо
.
Теорема Ролля.
Пусть функция
непрерывна и имеет конечную
-обобщенную
производную производную
в области
.
Если отрезок, соединяющий точки
и
,
целиком лежит в
,
расположен на прямой, проходящей через
начало координат, и выполнено условие
,
то существует такая точка
на этом отрезке, что
.
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
непрерывна и имеет конечную
-обобщенную
производную
в области
.
Тогда
,
где число
определяется условием
.
Теорему Коши.
Пусть функции
и
области
непрерывны и имеют конечные
-обобщенные
производные
и
при
.
Если отрезок, соединяющий точки
и
.
Если отрезок, соединяющий точки
и
,
целиком лежит в
,
расположен на прямой, проходящей через
начало координат, то существует точка
на этом отрезке, что:
.
Тема 14. Правило Лопиталя для функций нескольких переменных
Задания
1. Доказать следующее
правило Лопиталя. Пусть функции
и
имеют
-обобщенную
производную в окрестности точки
и
,
при
.
Если существует предел
,
то существует предел
.
2. Объяснить, чем вызваны некоторые изменения формулировки в сравнении с классическим правилом Лопиталя.
3. Решить 5-6 примеров на сформулированное правило Лопиталя по образцу приведенных ниже примеров.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Применение правила Лопиталя не привело к ответу. Однако из вычислений следует, что если предел существует, то он равен 0.
Пример 3.
При этом принято во внимание, что
.
Отсюда следует, что
.
Тема 15. Интерполяционная формула Лагранжа для функций двух переменных
Теоретические сведения
Пусть функция
определена в некоторой замкнутой области
и известны ее значения
в точках
,
.
Задача интерполирования состоит в том,
чтобы вычислить значение
в какой-нибудь новой точке
.
С теорией интерполирования можно
познакомиться в [5].
Введем функции
.
Задания
1. Доказать, что
функция
удовлетворяет условиям
,
,
.
2. Доказать интерполяционную формулу Лагранжа:
,
где
,
.
3. Рассмотреть
примеры, доказать, что формула дает
точный результат для любого многочлена
общей степени
.
Тема 16. Аналог формулы трапеций для функций двух переменных
Пусть область имеет следующий вид:
.
Пусть
имеют координаты:
,
;
,
.
Рассмотрим те из точек , которые принадлежат области .
Положим
.
Задания
1. Пусть
,
,
,
– точки, принадлежащие
.
Доказать для функций двух переменных
формулу трапеций
,
где
–
сумма по трем угловым точкам границы
области
;
–
сумма по оставшимся точкам границы
области
;
–
сумма по внутренним точкам области
.
2. По формуле
трапеций при
найти приближенное значение интеграла
,
где
,
,
и сравнить его с точным значением
.