Тема 22. Дифференциальные уравнения для функций многих переменных, разрешимые в квадратурах

Задания

1. Доказать, что общее решение дифференциального уравнения , где , задается формулой

,

где – степенная функция многих переменных (см. тему 12).

2. Доказать, что общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, где – функция переменных , удовлетворяющая условию , а – функция одного переменного, имеет вид

.

3. Пусть – функция переменных и , являющаяся однородной измерения 1, т.е. . Доказать, что общее решение однородного уравнения имеет вид

.

4. Используя тождество , обосновать метод Даламбера для линейных уравнений .

5. Обосновать метод Даламбера для уравнений Бернулли .

Тема 23. Применение функций комплексного переменного для вычисления интегралов

Теоретические задания

Простейшие формулы интегрального исчисления распространяются на комплексные функции действительного переменного.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Заданный интеграл вычислим как действительную часть интеграла

.

Применяя формулу Эйлера , получим

Таким образом,

.

Задания

1. Вычислить интегралы

и .

2. Используя интеграл

, ,

доказать формулы

,

.

3. Используя в интеграле

значения , , где , получить формулу

.

4. Отделяя действительную и мнимую части в интеграле

,

установить следующие равенства:

,

.

5. Отделяя действительную часть в интеграле

,

вычислить значение интеграла

.