Тема 17. Системы уравнений с разделяющими переменными

Задания

1. Разработать метод решения систем уравнений с разделяющимися переменными следующего специального вида:

для случая, когда удовлетворяются условия

, .

Здесь

.

2. Решить систему уравнений:

3. Составить и решить 4-5 систем указанного вида.

Тема 18. Уравнение Риккати

Задания

1. Изучить теорию уравнения Риккати [7] .

2. Доказать, что общее решение уравнения Риккати имеет вид

,

где , – два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка.

3. Рассмотреть в качестве примера уравнение

.

4. В связи с решением уравнения из предыдущего пункта изучить теорию бесселевых функций , [8].

5. Изучить случай уравнения, сводящегося к уравнению Риккати

.

Выполнив замену переменной , доказать, что в рассматриваемом случае решение уравнения имеет вид

.

Тема 19. Дифференциальные уравнения как способ определения элементарных функций

Задания

1. Изучить способ определения функций и как решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

2. Получить доказательство теорем сложения для синуса и косинуса, пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений.

3. Ввести к рассмотрению тройку функций , , как решение системы дифференциальных уравнений:

Пользуясь теоремой единственности для системы дифференциальных уравнений, доказать теорему сложения для каждой из функций , , . В качестве примера приведем теорему сложения для функции :

Тема 20. Решение функциональных уравнений сведением к дифференциальным уравнением

Теоретические сведения

Приемы решения функциональных уравнений с помощью дифференциальных изучим на конкретном примере. Рассмотрим задачу определения функции, удовлетворяющей функциональному уравнению .

Допуская, что такая функция существует и имеет производную, составим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция . Имеем

,

где .

Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Из функционального уравнения при и найдем: , откуда . Для определения функции имеем задачу Коши , .

Решением задачи Коши служит функция .

Задания

1. Доказать, что функция является решением функционального уравнения

.

2. Доказать, что функция является решением функционального уравнения

.

3. Доказать, что функция является решением функционального уравнения

.

4. Доказать, что функция является решением функционального уравнения

.

Тема 21. Теорема сложения для решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Задания

1. Пусть и – решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям

и

Доказать теоремы сложения

Идея доказательства: в первом случае рассмотреть две функции и . Доказать, что они обе – решения одной задачи Коши , , , а затем применить теорему единственности для дифференциальных уравнений.

2. Получить теоремы сложения для тригонометрических функций ,

3. Получить основное свойство показательной функции , рассмотрев уравнение при , .