3.2 Особенности течения при ламинарном режиме
Ламинарный режим характерен четким выделением отдельных струек. Рассмотрим распределение касательных напряжений, давления, скоростей при ламинарном режиме (рис. 33).
Рисунок 33 – Распределение касательных напряжений, давлений и скоростей по живому сечению при ламинарном режиме
Касательные напряжения. Касательное напряжение τ на произвольном удалении r от центра трубы можно записать из основного уравнения равномерного движения.
,
где
I
– гидравлический уклон, равный
;
R
–
гидравлический радиус, равный
.
В
соответствии с уравнением Бернулли
гидравлический уклон для всех струек
одинаков. Следовательно, касательные
напряжения будут изменяться линейно.
Максимальное значение τ
у стенок трубы в прилипшем слое при
,
а на оси при r=0,
τ=0.
Распределение давления. В этом случае действует закон статики, поэтому распределение давления происходит по гидростатическому закону. Наибольшее давление будет в точке С у нижней кромки трубы pC=pA+2γr0, причем часто разницей давления по сечению трубы можно пренебречь и считать во всех точках его равным давлению в центре тяжести сечения на оси трубы.
Распределение скоростей. Касательные напряжения при ламинарном режиме можно выразить из закона вязкого трения Ньютона:
.
Приравняем два выражения
.
Из этого выражения, произведя преобразования и интегрирование, получим скорость:
.
Постоянную интегрирования C, определим из условий нулевой скорости на стенках трубы (U=0 при r=0), откуда
.
Окончательно закон распределения скоростей имеет вид
;
при r=0;
Эпюра скоростей в живом сечении представляет собой парабалоид вращения. Скорость изменяется от нуля в прилипшем слое у стенок трубы до Vmax на оси.
Расход и средняя скорость. Элементарный расход в живом кольцевом сечении толщиной dr и удаленном от центра на расстояние r можно выразить по формуле:
.
Проинтегрировав
это выражение от 0 до
,
получим расход потока жидкости:
.
Среднюю
скорость определим из уравнения
неразрывности
,
где
,
тогда:
.
Сопоставив
выражения для расчета максимальной
скорости Vmax
и средней
скорости отметим, что они связаны
соотношением:
,
с учетом этого соотношения закон
распределения скоростей можно записать
так:
.
Потери энергии
(напора) и коэффициент Дарси.
Формулу для определения потерь энергии
на трение в круглой трубе можно получить,
преобразовав формулу для расчета средней
скорости, выразив в ней гидравлический
уклон как
,
тогда
(формула Пуазейля).
В общем случае потери энергии на трение выражается формулой Дарси-Вейсбаха:
hТР=
.
С учетом известных соотношений: ν=η/ρ, γ=ρ×ν, Re=V×d/ν получим значение коэффициента Дарси для ламинарного режима:
λ=64/Re.
Анализируя формулу, можно сделать вывод о линейной зависимости коэффициента Дарси λ от числа Рейнольдса Re, а также о такой же зависимости потерь на трение (по длине) hТР от средней скорости V.
3.3 Особенности течения при турбулентном режиме
Для турбулентного движения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений в процессе течения.
Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы, несмотря на прямолинейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также отличается большим разнообразием.
Таким образом, строго говоря, турбулентное течение является неустановившимся течением, т. к. величины скоростей и давлений, а также траектории частиц меняются по времени. Однако его можно рассматривать как установившееся при условии, что осредненные по времени значения давлений и скоростей, а также величина полного расхода потока не меняются с течением времени. Такое течение встречается довольно часто.
Ввиду того, что при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и происходит перемешивание жидкости, закон Ньютона в этом случае неприменим. Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в поперечном направлении касательное напряжение на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном.
Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерить и записать пульсации скорости по времени, то получим следующую картину (рис. 34).
Величина скорости беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения, которое в данном случае остается постоянным. Эта величина называется местной осредненной скоростью, которую можно определить по следующей зависимости:
.
Р
исунок
34 – Пульсации при турбулентном режиме
Если измерить мгновенные скорости с помощью специальных приборов и вычислить осредненную местную скорость, то можно убедиться, что осредненная местная скорость является практически постоянной и направленной вдоль потока. Поэтому потоки, находящиеся в турбулентном режиме движения, можно рассматривать условно параллельно-струйными и применять к ним уравнение Бернулли. По полуэмпирической теории турбулентности Прандтля распределение скоростей выражается зависимостью:
,
где VД – динамическая скорость, равная V(λ/8)0,5;
х – универсальная постоянная Прандтля (х=0,4).
Распределение скоростей может быть выражено приближенной степенной формулой Альтшуля–Калицуна
V=Vmax(y/r)
.
При турбулентном режиме непосредственно на стенке трубы обычно имеется ламинарный слой. Это весьма тонкий слой жидкости, движение в котором является наиболее замедленным, слоистым и без перемешивания, т. е. ламинарным. Непосредственно за ламинарным слоем располагается тонкий слой жидкости, который представляет переходную зону от ламинарного к турбулентному режиму.
За переходной зоной лежит турбулентное ядро, в котором частицы перемещаются по сложным траекториям, вихреобразно (рис. 35).
δ
Турбулентное
ядро
Ламинарный слой
Рисунок 35 – Структура потока при турбулентном режиме
В пределах ламинарного слоя скорость круто нарастает от нуля у стенки до некоторой конечной величины на границе слоя. Этот участок называется пограничным ламинарным слоем. Толщина ламинарного слоя δ может быть выражена следующей зависимостью:
Интересно отметить, что число Рейнольдса, подсчитанное по толщине ламинарного слоя и скорости, есть величина постоянная подобно критическому числу Рейнольдса:
V×δ/ν=const.