2.1.13. Принцип найменшої дії. Рівняння Лагранжа другого роду. Узагальнена сила, функція Лагранжа.

Принцип найменшої дії ще називають принципом Остроградського-Гаусса, він полягає в тому, що з усіх рухів, які переводять систему з стану А в стан В в дійсності реалізується той, для якого варіація: .

- інтеграл дії в узагальнених координатах.

В час t₁ система характеризується точкою А, а в час t₂ – точкою В.

Рівняння Лагранжа ІІ-го роду має вигляд :

- функція Лагранжа

- узагальнений потенціал

- кінетична енергія системи

- узагальнена швидкість

- узагальнені координати - відповідає числу ступенів вільності системи.

2.1.14. Канонічні рівняння Гамільтона. Функція Гамільтона.

Якщо система матеріальних частинок характеризується функцією Лагранжа, то узагальнена енергія цієї системи:

- функція Гамільтона. .

Якщо функція Лагранжа явно не залежить від часу, то

, - узагальнена енергія системи зберігає своє значення.

Функція Гамільтона характеризує механічну систему і в загальному випадку може характеризувати систему з нескінченним числом ступенів вільності. Вона являє собою повну механічну енергію.

Якщо функцію Гамільтона представити через канонічні змінні, то

.

Відомо, що узагальнений імпульс :

.

Знаючи це можна записати :

.

Ці два рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона і вони мають симетричний вигляд відносно канонічних змінних q_k і p_k.

2.1.15. Розсіяння частинок у центральному полі. Формула Резерфорда.

Р озглянемо закономірність розсіювання α – ч-к у пучку. Із пучка α – ч-к виділимо циліндричний шар радіусом b і товщиною db. Нехай цей пучок падає на розсіюючий центр.

Після розсіювання α – ч-ки, які були у виділеному шарі будуть знаходитися в межах тілесного кута dω який обмежений двома конічними поверхнями з кутами при вершинах 2θ і 2(θ+dθ).

N- густина потоку α – ч-к (к-ть α – ч., що проходять в напр. розсіюв. через од. площі зо од. часу).

(5)

dN↔θ

dN=2πbdb (6)

(7)

(8)

Остаточно знайдемо кількість частинок, що припадають на одиницю тілесного кута , в якому рухаються α – ч-ки після розсіювання :

(9) - ф-ла Резерфорда

2.1.16. Динаміка твердого тіла. Система рівнянь руху твердого тіла. Момент сили. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

Тверде тіло – це система матеріальних точок, відстані між якими незмінні. Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому довільна пряма проведена у тілі рухається паралельно до свого початкового положення. При поступальному русі тіла усі його точки описують однакові траєкторії (при накладанні збігаються) і в будь-який момент часу швидкості і прискорення усіх точок тіла рівні між собою.Кінематика поступального руху твердого тіла зводиться до кінематики точки. Тому поступальний рух твердого тіла задається так само як точки. Зазвичай, поступальний рух твердого тіла задається рухом його центра ваги координатним способом, тобто Це кінематичні рівняння поступального руху твердого тіла. Тіло, яке рухається поступально, має три ступені вільності.

Кінематичними характеристиками тіла при його поступальному русі є швидкість тіла v і прискорення тіла a.  ,

Обертальним рухом називають такий рух, при якому траєкторії всіх точок є концентричні кола, центри яких лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.

Момент інерції тіла відносно осі дорівнює сумі добутків елементарних мас тіла на квадрати їх віддалей від осі обертання. . Зауважимо, що момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло навколо деякої осі, чи перебуває відносно цієї осі у стані спокою. Момент інерції  величина скалярна, вимірюється в кгм². . Якщо густина тіла  величина стала, то: .

Моментом сили відносно нерухомого центра О називається векторна величина, що дорівнює векторному добутку радіуса  вектора , проведеного з точки О до точки прикладання сили, на вектор сили . . Вектор напрямлений перпендикулярно до площини, у якій лежать вектори і , таким чином, що з його кінця найкоротший поворот від вектора до вектора видно проти напряму руху годинникової стрілки. Модуль моменту сили можна подати у вигляді: М = rFsin = Fl, де l = rsin   плече сили відносно т. О

Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого центру О визначається як: , де радіус-вектор, проведений з центру О до матеріальної точки. імпульс матеріальної точки.

Якщо тверде тіло здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі OZ, то вводиться поняття моменту імпульсу відносно нерухомої осі. -швидкість зміни моменту імпульсу тіла дорівнює моменту сили,що діє на тіло.

При обертанні тіла навколо нерухомої осі: ,основний закон динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі: . де кутове прискорення тіла.

Момент сили відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на набуте тілом кутове прискорення.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент інерції тіла J_z відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції J_С відносно осі, паралельної даній, що проходить через центр мас тіла і добутку маси тіла m на квадрат відстані між осями d. .