Варианты заданий № 6 и № 7
Вариант |
f(х) |
Вариант |
f(х) |
Вариант |
f(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 8.
1. Транспонируйте матрицу М с помощью операции Символы Матрицы Транспонирование.
2. Инвертируйте
матрицу
с
помощью операции Символы
Матрицы
Инвертирование.
3. Вычислите
определитель матрицы
с помощью операции Символы
Матрицы
Определитель.
Задание № 9. Вычислите пределы.
1.
2.
3.
4.
Задание № 10. Найдите сумму ряда.
1.
.
2.
Задание № 11. Найдите производную и упростите выражение.
1.
2.
Задание № 12. Вычислите неопределенные интегралы.
1.
2.
Задание № 13. Вычислите определенные интегралы.
1.
2.
Лабораторная работа 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в MathCad Общие сведения
Задачи анализа
математических моделей в большинстве
случаев связаны с решением дифференциальных
уравнений и систем таких уравнений. Во
многих случаях необходимо найти решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
– функцию (или функции) от одного
аргумента. При этом аналитическое
решение дифференциального уравнения
удается найти лишь в исключительных
случаях. Однако современные системы
компьютерной математики предоставляют
широкие возможности численного решения
дифференциальных уравнений. В этом
случае результатом вычислений является
конкретное решение (траектория, фазовая
кривая) дифференциального уравнения,
и для ее нахождения требуется, помимо
уравнения, задать дополнительные условия
– начальные или граничные. Характерной
чертой численных методов является то,
что и исходные данные, и результат имеют
вид числа или набора чисел. Для
дифференциального уравнения первого
порядка решение представляется в виде
набора чисел. Отрезок [a,b],
на котором строится решение, разбивается
на (равные или нет) промежутки:
.
Полученное разбиение называется сеткой,
точки
называются узлами
сетки. В этих узлах и определяются
значения функции (или функций):
,
.
Таким образом, в
результате вычислений получается
решение в виде набора (или нескольких
наборов, по числу искомых функций) чисел.
Для получения представления о поведении
этого решения обычно строится график
функции на плоскости переменных
.
Если искомых
функций несколько, можно нарисовать их
графики на одной координатной плоскости.
Если функций две или три, для наглядности
используется также фазовая плоскость
(фазовое пространство) – в этом случае
независимая переменная становится
параметром.
Численное решение задачи Коши для скалярного обыкновенного дифференциального уравнения.
Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения в MathCAD можно разными способами. Рассмотрим случай, когда задан отрезок, на котором требуется построить решение, и значение неизвестной функции в начальной точке (на левом конце отрезка).
I. Алгоритм решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения с использованием «блока решений»:
1. Ввести ключевое слово Given, с которого начинается блок решений.
2. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).
3. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.
4. Ввести ключевое слово Odesolve, которым заканчивается блок решений, то есть присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение Odesolve с параметрами интервала интегрирования.
5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.
6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.
II. Алгоритм решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с использованием встроенной функции (например rkfixed).
1. Задать начальные значения переменной, которая есть в уравнении.
2. Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения с панели управления Evaluation (Выражения).
3. Задать количество шагов интегрирования уравнения на интервале.
4. Присвоить функции, относительно которой решается уравнение, значение rkfixed с параметрами: функция, интервал интегрирования, количество шагов на интервале интегрирования, оператор дифференциального уравнения.
5. Определить значение найденной функции в точках интервала, для чего создать соответствующий цикл.
6. Построить и отформатировать график найденной функции в точках интервала.
Пример
I.
Найдем
решение обыкновенного дифференциального
уравнения
на интервале [0,100] с начальным условием
у(0)=1, следуя алгоритму:
1. Ввести ключевое слово Given.
2. Записать уравнение, используя логический знак равенства:
.
3. Записать начальное условие, используя логический знак равенства:
у(0)=1.
4. Найти решение задачи с помощью функции Odesolve:
у:=Odesolve(x,100).
5. Создать цикл для построения графика решения:
x:=0,..100.
6. Построить график и отформатировать его.
II. Найдем для той же задачи решение с использованием встроенной функции rkfixed:
1. Задать начальное условие
у(0)=y0:=0.1.
2. Задать функцию,
определяющую правую часть дифференциального
уравнения
.
3. Указать количество шагов интегрирования К:=100.
4. Найти решение задачи с помощью функции rkfixed. Знак равенства выбирается на панели Логика (Логические).
у=rkfixed(у0, х1,х2,К, D).
5. Создать цикл для построения графика решения:
х:=0,..100.
6. Построить график функции в точках интервала и отформатировать его.
Примечание: результаты решения дифференциального уравнения двумя подходами должны совпадать.
Отметим, что MathCAD содержит и другие встроенные функции для решения дифференциальных уравнений:
Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования (величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения, то есть при быстром изменении шаг уменьшаем);
Bulstoer – метод Булирша-Штера (более эффективен в случае, если решение является плавной функцией).
Эти функции имеют сходные параметры (y0, a, b, n, D):
y0 – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему (в случае одного уравнений и одной неизвестной функции – это просто число);
a – начало отрезка, на котором ищется решение (именно в этой точке задается значение вектора y0);
b – конец отрезка интегрирования;
n – количество частей, на которые разбивается отрезок интегрирования;
D(x, y) – векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы в нормальной записи (когда левые части – производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют)
Численное решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений
Систему дифференциальных уравнений можно решить, используя тот же блок Given/odesolve. При этом количество начальных условий равно сумме порядков всех уравнений, входящих в систему.