Лабораторная работа 8. Исследование модеЛи солоу Общие сведения

Вычислительный эксперимент является важнейшим этапом современного математического моделирования. Во многих случаях описание модели или ее части сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, найти точное аналитическое решение которых не представляется возможным. В этом случае исследование модели представляет собой применение качественных и численных методов анализа. При этом в сочетании с теоретическими исследованиями численные методы позволяют приближенно находить не только конкретные (частные) решения, но и глобальные характеристики системы. Предварительный качественный анализ модели позволяет получить предварительную информацию о характере поведения решений системы и возможных вариантах этого поведения, о наличии особых траекторий и (или) особых значений параметров систем, что, в свою очередь, помогает правильно выбрать способ и параметры численного решения дифференциальных уравнений модели. Чем сложнее система, тем более важную роль для успеха вычислительного эксперимента играет предварительное аналитическое исследование модели.

Рассмотрим однопродуктовую (односекторную) модель, характеризующуюся в каждый момент времени набором переменных: Y – валовой выпуск, С – непроизводственное потребление, I – инвестиции, L – трудовые ресурсы (число занятых), К – производственные фонды (капитал), λ – темп роста трудовых ресурсов, μ – коэффициент выбытия ПФ. В такой модели продукция экономики считается однородной, т.е. состоящей из одного продукта. Все предприятия рассматриваются нераздельно, объединены в одну производственную единицу (отсюда и второе название модели – односекторная). Предполагается, что выпуск в каждый момент времени определяется производственной функцией Y = F(K,L).

Выпишем основные балансовые соотношения модели в удельных (душевых) переменных:

- фондовооруженность, - удельный выпуск (производительность труда), , , . (1.10)

В силу свойств производственной функции

, . (1.11)

Балансовое условие агрегированной экономики: .

Основные предположения модели:

1. модель динамики трудовых ресурсов описывается уравнением (мальтузианский рост);

2. модель воспроизводства основных производственных фондов описывается уравнением , где – норма выбытия ОПФ, – инвестиции.

3. население сберегает (и инвестирует) постоянную долю своего дохода .

С учетом основного макроэкономического тождества получаем в абсолютных показателях , откуда с учетом введенных обозначений выводим основное уравнение модели: .

Анализ экономики на основе модели Солоу.

Прежде всего, исследуем вопрос о свойствах траекторий модели в стационарном режиме, когда относительные показатели не изменяются во времени. На стационарной траектории . Из дифференциального уравнения следует, что существует два стационарных режима: нулевой и .

Благодаря условиям, наложенным на производственную функцию, конечно и положительно, а стационарное состояние устойчиво, так как при , при . Таким образом, если в начальный момент времени , то k(t) возрастает, иначе – убывает. При этом в первом случае график функции k(t) имеет точку перегиба , в которой обращается в ноль вторая производная функции k(t) (а значит, производная по k от правой части уравнения). При график функции является выпуклым вниз, при - выпуклым вверх.

Если k(t) = k*, то . С тем же темпом растут Y(t), C(t) и I(t). Такую ситуацию называют режимом сбалансированного роста. Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений. Режим сбалансированного роста сам зависит от нормы капиталовложений s, так как от s зависит значение k*: при росте s величина k* возрастает. Поскольку все траектории сходятся к сбалансированному росту, который зависит от величины постоянной доли капиталовложений s, то возникает вопрос о том, какой режим сбалансированного роста предпочтительнее. Для этого прежде всего необходимо ввести критерий, по которому мы будем сравнивать различные режимы. В модели сбалансированного роста в качестве критерия можно взять уровень потребления в расчете на одного трудящегося, т. е. величину c = (1−s)f(k*), причем k* также зависит от величины s, и в итоге c(s) = f(k*) − (λ + μ)k*, где k*=k*(s). Условие экстремума этой функции во внутренней точке отрезка [0,1], к которому принадлежат допустимые значения s, выписывается в виде dc(s)/ds=0 или (f '(k*) − (λ+μ))dk*/ds = 0, и т.к. dk*/ds>0, то f '(k*)= (λ + μ). Заметим, что в случае рассматриваемых производственных функций всегда существует единственное решение k*, удовлетворяющее этому уравнению. Наилучшее значение доли капиталовложений в конечном продукте s можно определить из соотношения s* = (λ +μ)k*/f(k*). Легко проверить, что полученное значение s приведет к максимальному, а не минимальному потреблению, а также то, что максимальное потребление не достигается при крайних значениях величины s, т. е. при s=0 или s=1. Для расчета оптимальной нормы накопления нужно задать конкретную производственную функцию. Например, для функции Кобба-Дугласа получаем s*=α, то есть оптимальная норма накопления совпадает с ее эластичностью («Золотое правило накопления»).

Задания к лабораторной работе 8

Пусть в модели Солоу темп прироста трудовых ресурсов λ, предельная склонность к сбережению s и коэффициент μ заданы в %.

1. Найти стационарное значение фондовооруженности.

2. Вычислить - значение фондовооруженности, при котором скорости роста функций и равны.

3. Исследовать переходные режимы в модели. Убедиться, что в зависимости от соотношения значений , , наблюдается: ускоренный вначале рост фондовооруженности; замедленный рост фондовооруженности; замедляющееся падение фондовооруженности.

4. Пусть момент значения и заданы. В каком направлении будет изменяться темп прироста в соответствии уравнением модели? Какой начальный объем капитала при заданном обеспечит равновесный рост? Какой начальный объем капитала при заданном обеспечит убывание (возрастание) фондовооруженности?

5. Найти оптимальное значение s*. Построить графики решения уравнения с заданными значениями параметров и заданным начальным условием при s=5;15;20;30;40;50;60;75;80 (величина задана в процентах). Убедиться, что уровень потребления в расчете на одного трудящегося, т. е. величина c = (1−s)f(k*), максимальна при s=s* (то есть золотое правило накопления действительно выполняется).

В качестве производственной функции взять:

1. 

2. 

3. 

Показатель	Номер варианта
	1-3	4-6	7-9	10-12	13-15	16-18
	0.2+0.1n, где n – остаток от деления номера варианта на 4
A	1.1+0.1n, где n – остаток от деления номера варианта на 4
	5	6	7	8	9	10
	8	7	6	5	4	3
a	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
b	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2
	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
(%)	2.0	2.2	2.4	2.6	2.8	3.0
s (%)	40	42	48	54	60	41
(%)	2	4	5	4	6	3
	10	12	11	13	14	9
	640	760	700	830	900	570