Вычисление двойного интеграла

Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

П ример Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

y

4

D

0 2 x

=

Теорема Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

П ример Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. y

2

1 y = x

0 x

Пример Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

=

=

Пример Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х = 2.

1. 

2.

3.

Замена переменных в двойном интеграле

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j₁(x) до j₂(х). Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

Тогда dx = ; dy = ;

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

, т.е.

пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и j(u, v).

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению одного или двух двукратных интегралов вида

Или каждый из которых есть результат последовательного вычисления двух обыкновенных определенных интегралов. При этом значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

Рассмотрим пример. Вычислить двойной интеграл , если область D – треугольник, ограниченный прямыми х=0, 2у-х=0, х+у=3.

Если в начале интегрировать по у, а затем по х, то двойной интеграл по области D выражается одним двукратным интегралом

Вычисляя двукратный интеграл, получим:

Если интегрировать в другом порядке – сначала по х, а затем по у, необходимо разбить область интегрирования прямой у=1 на две части, так как правая линия границы состоит из двух участков, которые имеют различные уравнения: х=2у и х=3-у. Вследствие этого вычисления несколько усложняются:

Лекция 11 Основы теории комплексных чисел

(Тема 4.1.)

План лекции

Понятие комплексного числа.

Изображение на плоскости и операции над комплексными числами.

Алгебраическая показательная и тригонометрическая форма комплексного числа.

_{Определение: комплексным числом будем называть упорядоченную пару чисел (a; b), упорядоченную в том смысле, что нам известно, какое из чисел первое, а какое второе.}

_{Число (а, 0) = а является вещественным или действительным числом а.}

_{Равенство двух комплексных чисел (a, b) = (c, d) означает, что .}

_{Для комплексных чисел вводится операция сложения по следующему правилу:}

_{(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).}

_{Для операции сложения комплексных чисел справедливы следующие свойства:}

1. _{От перестановки слагаемых сумма не меняется: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)}

2. _{Для операции сложения выполняется сочетательный закон: .}

_{Для комплексных чисел вводится операция вычитания, как операция, обратная к сложению, а именно: разностью комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число (х, у), которое после сложения с числом (c, d) дает число (a, b).}

_{(a, b) – (c, d) = (x, y); (x, y) + (c, d) = (a, b) – выполним сложение: (x + c, y + d) = (a, b)}

_{. Таким образом: (a, b) – (c, d) = (a – c, b – d).}

_{Для комплексных чисел вводится операция умножения по следующему правилу:}

_.

_{Для операции умножения выполняются следующие свойства:}

1. _{Произведение не зависит от порядка сомножителей: .}

2. _{Выполняется сочетательный закон: .}

3. _{Выполняется сочетательный закон: .}

_{Утверждение: если известно, что , причем , то (a, b) = (0, 0).}

_{Доказательство:}

_{Для комплексных чисел вводится операция деления как операция, обратная по отношению к операции умножения, а именно: частным от деления комплексных чисел (a, b) и (c, d), где , называется комплексное число (х, у), такое, что его произведение с числом (c, d) дает число (a, b).}

_{Нетрудно показать, что частное находится по следующему правилу:}

_{Определение: комплексные числа (0, b) называются чисто мнимыми, обозначаются: .}

_{Любое комплексное число может быть представлено в следующей форме: .}

_{Доказательство: .}

_{Число , которое называется мнимой единицей, мы получаем при b = 1, , .}