Условия параллельности и перпендикулярности прямых

№

п/п

Способ задания прямых

Условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности прямых

1

l₁: y=k₁х+b,

l₂: y=k₂x+b₂

k₁=k₂

k₁k₂= -1

2

l₁: А₁х+В₁у+С₁=0

l₂: А₂х+В₂у+С₂=0

A₁A₂+B₁B₂=0

3

l₁:

l₂:

m₁m₂+n₁n₂=0

№

п/п

Вид уравнения

Смысл входящих в уравнение коэффициентов

Примечание

1

Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0

(x₀,y₀,z₀) – координаты заданной точки;

АВС – координаты заданного вектора

Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости

2

Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0

D=-Ax₀-By₀-Cz₀,

АВС – нормальный вектор плоскости;

х₀,y₀,z₀ – координаты данной точки

Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями

3

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

М₁(х₁,y₁,z₁), М₂(х₂,y₂,z₂),

М₃(х₃,y₃,z₃) – три точки, заданные своими координатами

Точки М₁, М₂, М₃ не должны лежать на одной прямой

4

Уравнение плоскости в отрезках на осях

а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат

аbc≠0

№

п/п

Вид уравнения

Смысл входящих в уравнение коэффициентов

Примечание

1

Канонические уравнения прямой

(x₀,y₀,z₀) – координаты точки М₀, лежащей на прямой;

m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой

Вектор называется направля-ющим вектором прямой

2

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

(x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂) –

координаты двух заданных точек

Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости

3

Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей

- уравнение одной плоскости;

- уравнение второй плоскости

Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве