Теорема Кронекера – Капелли.

В теории линейных уравнений важную роль играет критерий совместности в терминах ранга матрицы исходной системы.

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, причем решение будет единственным, если этот ранг равен числу неизвестных.

Эту теорему примем без доказательства.

Система однородных линейных уравнений

Рассмотрим особо частный случай линейной системы, когда свободные члены всех уравнений равны нулю, т.е. систему однородных уравнений:

(1)

…………….

Эта система всегда обладает нулевым или тривиальным решением:

x₁=0, x₂=0, … , x_n=0.

Таким образом, однородная система всегда совместна, и речь может идти лишь о числе её решений: будет ли нулевое решение единственным, или, кроме него, система имеет еще другие, нетривиальные решения.

Теорема 1. Любая система однородных линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет нетривиальные решения.

Теорема 2. Система однородных линейных уравнений с n неизвестными тогда и только тогда имеет нетривиальные решения, когда определитель равен нулю.

Лекция 4 Векторы. Операции над векторами

(Тема 2.1.)

План лекции

Определение вектора.

Модуль вектора.

Координаты вектора.

Операции над векторами (скалярное, векторное и смешанное произведения), свойства.

Геометрический вектор – это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка АВ. Векторы обозначают как, а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Произведением вектора на некоторое число αR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженной на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось Ох называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси Ох.

Радиусом-вектором точки М называется вектор соединяющий начало координат с этой точкой.

Единичные векторы координатных осей называются ортами.

Углы α, β, γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом для вектора с координатами Х, Y, Z причем =1.

Если векторы и заданы своими координатами как и , то координаты вектора ma +nb будут равны: {ma₁ +nb₁, ma₂+nb₂, ma₃+nb₃}, а вектор ma +nb=( ma₁ +nb₁) +(ma₂+nb₂) +(ma₃+nb₃) .

Скалярное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: =| ||

=

|

k( )=

= (k =

= )

Вычисление в прямоугольных координатах: если

, то

.

Скалярное произведение ортов

=0

=1

Работа силы F на перемещение S А=

Векторное произведение двух векторов

Свойства

Определение

Применение

Векторным произведением двух векторов называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и и направлен так, что кратчай-ший поворот от к видится против часовой стрелки

=

Площадь треугольника

S=

)=

= k( )

Условие коллинеарности

Момент силы , в точке А относительно точки О:

Вычисление