Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа

А лгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

I_k = 0, I₁+I₂-I₃-I₄+I₅ = 0,

или - сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от него.

I₁+I₂+ I₅ = I₃+ I₄.

Правило: если ток направлен в узел, то перед ним в уравнении ставится «+» , если ток направлен от узла , то «-» .

Второй закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС внутри этого контура.

E_k = I_iR_i

E₁-E₂+E₃ = I₁R₁+ I₂R₂+ I₃R₃+ I₄R₄

Правило: если направление тока и Е совпадает с направлением обхода то в урав­нении берётся со знаком «+», если не совпадает, то «-».

Последовательное соединение сопротивлений.

U

Второй закон Кирхгофа для этой схемы имеет вид U = U₁ + U₂ + U₃ . Поделим почленно это уравне6ние на ток I. U/I = U₁ /I + U₂ /I + U₃ /I, получим R = R₁+ R₂+ R₃ .

Таким образом, при последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление равно сумме последовательно соединенных R.

Параллельное соединение сопротивлений.

Для преобразования этой схемы используется первый закон Кирхгофа и закон Ома. I₁ = U/R₁ , I₂ = U/R₂ , I₃ = U/R₃ , I = I₁+ I₂ + I₃ ,

U/R_Э = U/R₁+U/R₂+U/R₃, тогда 1/R_Э = 1/R₁+1/R₂+1/R₃ , G_Э = G₁+G₂+G₃.

Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей, а выражение для эквивалентного сопротивления имеет вид

R_Э = .

Тестовые вопросы по теме

1. Обозначение и единица измерения активного сопротивления и проводимости.

2. Обозначение и единица измерения индуктивности.

3. Обозначение и единица измерения ёмкости.

4. Что такое узел электрической цепи, обозначение.

5. Что такое ветвь электрической цепи, обозначение.

6. Что такое контур электрической цепи, обозначение.

7. Закон Ома для участка цепи без ЭДС.

8. Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС.

9. Первый закон Кирхгофа, схема, формула.

10. Второй закон Кирхгофа, схема, формула.

11. Обозначение источника ЭДС идеального и реального.

12. Вольтамперные характеристики источника ЭДС идеального и реального.

13. Обозначение источника тока идеального и реального.

14. Вольтамперные характеристики источника тока идеального и реального.

15. Преобразование последовательного соединения сопротивлений в эквивалентное, схема, формула.

16. Преобразование параллельного соединения сопротивлений в эквивалентное, схема, формула.

Лекция 3.

Смешанное соединение сопротивлений

Иногда нельзя определить параллельно или последовательно соединены сопротивления. Например, как показано на нижеприведенной схеме (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Смешанное соединение сопротивлений.

В этом случае заменим треугольник abc звездой abc (рис. 3.2). с соблюдением условия эквивалентности - так чтобы параметры (токи ветвей и межузловые напряжения) схемы вне преобразуемой цепи остались без изменения.

Рис. 3.2. Преобразование треугольника в звезду.

I_a=0 R_b+R_c=R_bc(R_ab+R_ca)/(R_ab+R_bc+R_ca) (3.1)

I_b=0 R_a+R_c=R_ca(R_ab+R_bc)/(R_ca+R_ab+R_bc) (3.2)

I_c=0 R_a+R_b=R_ab(R_bc+R_ca)/(R_ab+R_bc+R_ca) (3.3)

Решая систему относительно R_a, R_b, R_c . Находим их:

R_a=R_abR_ca/( R_ab+R_bc+R_ca) (3.4)

R_b=R_bcR_ab/( R_ca+R_ab+R_bc) (3.5)

R_c=R_caR_bc/( R_ab+R_bc+R_ca) (3.6)

Аналогично определяем R_ab, R_bc и R_сa.

Для замены звезды треугольником надо решить систему уравнений 4,5,6 относительно R_ab, R_bc и R_сa:

R_ab=R_a+R_b+R_aR_b/R_c (3.7)

R_dc=R_b+R_c+R_bR_c/R_a (3.8)

R_ca =R_a+R_c+R_aR_c/R_a (3.9)

Теорема об эквивалентном активном двухполюснике.

Теорема Гельмгольца – Те Ве Нена. - Активный двухполюсник (рис 3.3 обведён пунктиром) по отношению к рассматриванию цепи можно заменить эквивалентным источником напряжений, Э.Д.С которого равна напряжению холостого хода на зажимах этой ветви, а внутренне сопротив­ление ровно входному сопротивлению двухполюсника.

E_эк=(E₁G₁+E₂G₂)/(G₁+G₂)=U_xx12;

где G проводимость, G=1/R

Р ис. 3.3. Схема активного двухполюсника с несколькими ЭДС.

E_эк=E_i∙Y_i/Y_i (в комплексном виде)

.Рис. 3.4. Схема замещения активного двухполюсника.

Внутреннее сопротивление эквивалентного двухполюсника (рис 3.4) определяется как параллельное сопротивление внутренних сопротивлений активного двухполюсника (рис 2.3).

R_внутр=R₁R₂/(R₁+R₂)=R_{вх1,2 ,} I=E_эк/(R_вн+R₃)

Режимы работы источника Э.Д.С.

Рис.3.5. Схема реального источника ЭДС с нагрузкой.

1. Режим холостого хода (ключ S разомкнут) (рис 3.5). Напряжение холостого хода на выходе источника равно его ЭДС (U_ХХ = E), ток холостого хода равен нулю (I_ХХ = 0), т.к. сопротивление нагрузки равно бесконечности (R_Н = ), коэффициент полезного действия (К.П.Д.) при идеальном источнике ЭДС в этом режиме стремится к единице ( = 1).

2. Номинальный режим – это режим, на который рассчитывается источник, (ключ S замкнут). В этом режиме источник Е работает эф­фективно с точки зрения надёжности и экономичности

I_Н = I_НОМ = , U_ВЫХ = U_НОМ,

 = < 1.

3. Согласованный режим - режим, при котором в нагрузку отдаётся макси­мальная мощность.

Мощность источника: P_И=EI

Мощность нагрузки P_Н=U_НАГРI_НАГР

I_НАГР = , U_НАГР = I_НАГР R_Н = R_Н, следовательно

P_Н = U_НАГРI_НАГР = R_Н I² _НАГР = ( )² R_Н.

Вопрос: «При какой величине R_Н мощность в нагрузке будет иметь максимальное значение?», т.е. нужно определить экстремум функции P_Н(R_Н). Для этого возьмем производную от выражения P_н=R_н·I²=E²·R/(R+R)².

Максимальное значение мощности будет при =0. Это будет при R_н=R_вн .

К.П.Д: =P_н/Pи=E²R/(R_вн+Rн)²(R_вн+Rн)/E²=R_н(Rн+R_вн) =1/(1+R_вн/R_н)

Таким образом в согласованном режиме

P_напр=P_max=P_ист/2; U_н=E/2; I_н=I_к.з/2; R_н=R_вн; =0.5

4. Режим короткого замыкания – режим, при сопротивлении нагрузки равном нулю.

В этом режиме: R_н=0, U_н=0, I_кз =E/R_вн, =0, P_ист= P_вн= I_кз E, P_н=0.

Рис. 3.6. Зависимость мощностей: источника, приемника и потерь от тока.

Как видно из рис 3.6 мощность потерь представляет собой параболу в соответствии с формулой P_вн= R_внI², а мощность источника – прямую линию в соответствии с формулой P_и= EI, тогда мощность нагрузки в соответствии с балансом мощностей P_и= P_вн+P_н, будет иметь вид перевёрнутой параболы, т.к. P_н= P_и-P_вн . Баланс мощностей, определение – «Сумма мощностей источников равна сумме мощностей приёмников и мощностей потерь».

Рис. 3.7. Внешняя характеристика реального источника Э.Д.С.

Внешняя характеристика реального источника ЭДС представляет собой падающую прямую линию в соответствии с формулой второго закона Кирхгофа U_н=E-U_вн=E-R_внI. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении представляет собой растущую прямую линию U_вн=R_внI.

Рис. 3.8. Зависимость падений напряжений на источнике, приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки.

На рис. 3.8 приведены зависимости падений напряжений на источнике, приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки. Как видно эти зависимости имеют вид гиперболы. Действительно, в формуле

E и R_вн - постоянные величины, а R_н – величина переменная, значит это уравнение гиперболы. График падения напряжения на внутреннем сопротивлении тоже представляет собой гиперболу, т.к. по закону Ома U_вн=R_внI_{н ,} R_вн -

величина постоянная, а график I_н(R_н) – гипербола, значит и U_вн(R_вн) тоже – гипербола.

Вопросы по теме лекции.

1. Условие эквивалентности схем.

2. Эквивалентное сопротивление при последовательном сопротивлении оных, схема, формула.

3. Эквивалентное сопротивление при параллельном сопротивлении оных, схема, формула.

4. Преобразование реального источника ЭДС в эквивалентный источник тока. Схема, формула.

5. Преобразование реального источника тока в эквивалентный источник ЭДС. Схема, формула.

6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду, схемы, формулы.

7. Преобразование сопротивлений, собранных по схеме «звезда» в эквивалентный треугольник, схемы, формулы.

8. Теорема об эквивалентном генераторе (Гельмгольца – Те Ве Нена), сема формула.

9. Теорема об эквивалентном источнике тока (Нортона).

10. Режимы работы источника ЭДС (типы).

11. Холостой ход источника ЭДС, схема, условия проведения, для чего проводится.

12. Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы падения напряжения: на нагрузке, на внутреннем сопротивлении.

13. Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы тока и кпд.

14. Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы мощностей: источника, приёмника, потерь.

15. Баланс мощностей, определение, формула.

16. Согласованный режим работы источников ЭДС, где применяется.

17. Условие наступления согласованного режима работы, доказательство.

18. Режим короткого замыкания ЭДС, ток короткого замыкания, формула.

19. Зависимости мощностей и кпд от тока, формулы, подтверждающие вид этих графиков.

20. Зависимости ЭДС, падения напряжений на нагрузке и на внутреннем сопротивлении от тока, формулы, подтверждающие вид этих графиков.

21. Зависимости ЭДС, тока, падения напряжений на внутреннем сопротивлении и на нагрузке от величины сопротивления нагрузки.

Лекция 4.