Переменный ток.

Переменным током называется ток, величина и направление которого изменяются во времени.

а) переменный ток, б) импульсный ток

Рис 5.1. Графические изображения переменного и импульсного токов:

М гновенное значение переменного тока определяется выражением: 

где: I_m - амплитуда,   f (с^-1) - круговая частота,

f = 1/T (Гц) – циклическая частота, Т – период, _i - начальная фаза

Рис 5.2. Осциллограмма синусоидального тока.

Если начало синусоиды сдвинуто влево относительно начала отсчёта (0), т.е. синусоида в момент времени, равный нулю, имеет положительное значение, то начальная фаза – положительна. Если начало синусоиды сдвинуто вправо относительно начала отсчёта (0), т.е. синусоида в момент времени, равный нулю, имеет отрицательное значение, то начальная фаза – отрицательна.

Действующее значение переменного тока

Действующие значение переменного тока – такое значение постоянного тока, которое за один период переменного тока выделит на активном сопротивление столько же энергии, сколько и переменный.

Рис 5.3. Графическая интерпретация действующего значения синусоидального тока.

Действующее значение переменного тока измеряют приборы электромагнитной системы.

Переменный синусоидальный ток получают в синхронных генераторах, модель которого показана на рис 5.4. Постоянный магнит вращается внутри обмотки и наводит в ней синусоидальную ЭДС.

Рис 5.4. Модель синхронного генератора

Символический метод расчёта.

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд, в котором синусоидально изменяющиеся функции изображаются векторами на комплексной плоскости. Комплексный метод расчёта, предложил в 1893-1897гг. Чарльс Протеус Штейнмец.    Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

,

где с - модуль комплексного числа; φ - аргумент;     a=Re( ) – действительная часть; b=Im( ) - мнимая часть;   j - мнимая единица, j = .

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи комплексного числа к алгебраической:

;

;             .

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

;       φ=arctg .

 Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора на комплексной плоскости с длиной, равной модулю c, расположенного в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.5.5).     

Рис 5.5. Векторное обозначение комплексного числа.

Умножим комплексное число на множитель e^jβ.  Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β против часовой стрелки.  Множитель e^jβ называется поворотным:

.

   Отметим очевидные соотношения при следующих значениях угла β:

   

,

Умножение вектора на j является операцией его поворота в сторону опережения на 90^о (против часовой стрелки) по отношению к исходному вектору, умножение на (-j) – соответственно поворот его на 90^о в сторону отставания. Умножение вектора на -1(смена знака) означает его поворот на 180^о в любом направлении поворота.

Два комплексных числа, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют комплексно сопряжёнными числами. Если исходное комплексное число , то комплексно сопряжённым числом будет .

Свойства комплексно сопряжённых чисел:

;

Re( )=( )/2, Im( )=( )/2j.

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус-вектор.

 Выражение является комплексной функцией времени.     Применительно к синусоидальным напряжениям и токам получим их комплексные функции времени:

, , (2.5)

где , - комплексные амплитуды напряжения и тока (исходное положение векторов в комплексной плоскости).

Найдем мнимую часть комплексной функции времени для напряжения.

 Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, напряжение, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

  Таким образом, синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω, проекции которых на мнимую ось изменяются по синусоидальному закону.

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать вектора синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени .

При расчетах цепей вместо комплексных амплитуд токов и напряжений используют комплексные действующие значения, которые в раз меньше. Совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты, называют векторной диаграммой.        

 

Поведение электрических элементов на переменном токе.

Пусть по активному сопротивлению протекает ток i(t)=Im sint. Рассмотрим как себя ведёт активное сопротивление при прохождении по нему такого тока. По закону Ома падение напряжения на R равно

u(t) = R·i(t) = R·Imsint = Um Rsint

где U_m-амплитуда напряжения.

Мгновенная мощность

p(t)=i(t) u(t)= I_msint U_msint=

Рис 5.6. Зависимости тока, напряжения и мощности на активном сопротивлении.

Рис 5.7. Векторная диаграмма тока и напряжения для активного сопротивления.

Индуктивный элемент схемы замещения электрической цепи.

Пусть по индуктивности протекает переменный ток i(t)=Im sint. Из физики известно, что напряжение на индуктивности имеет вид

U(t)=L di(t)/dt=L I_m cost=X_L I_m cost=U_m sin(t+/2)

Где: X_L =L - индуктивное сопротивление,

=2f – круговая частота синусоидального тока,

U_m=X_L I_m – амплитуда напряжения на индуктивном сопротивлении.

Таким образом в индуктивности напряжение опережает ток на /2.

Мгновенная мощность здесь описывается уравнением

p_L(t)=i(t) U(t)= I_m sint U_m sin(t+/2)= (I_m U_m /2)*sin2t=P sin2t.

Р ис 5.8. Векторная диаграмма тока и напряжения для индуктивности.

Рис 5.9. Зависимости тока, напряжения и мощности на индуктивности.

Емкостной элемент схемы замещения электрической цепи.

Из физики известно, что i(t)=CdU_c (t)/dt, тогда

U_с(t)=(1/C)  i(t)dt=(1/C)I_m (-cost)=X_c I_m sin(t-/2)=U_m sin(t-/2),

где X_c=1/C - ёмкостное сопротивление,

U_m=X_С I_m - амплитуда напряжения на ёмкостном сопротивлении.

Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на /2.

Р ис 5.10. Векторная диаграмма тока и напряжения для ёмкости.

Рис 5.11. Зависимости тока, напряжения и мощности на ёмкости.

Мгновенная мощность на конденсаторе p_c(t)= I_m U_m /2(-sin2t)

Из графиков для L и C следует, что в 1-ю четверть периода Р на индуктив­ности положительна  индуктивность потребляет энергию из источника , а Р на конденсаторе отрицательна  конденсатор в эту четверть периода отдаёт энергию источнику.

Тестовые вопросы по теме

1. Что называется переменным током.

2. Мгновенные значения тока, напряжения и ЭДС (определение и формула).

3. Что называется фазой, начальной фазой, единицы измерения фазы.

4. Что называется действующим значением переменного тока. Формула.

5. Три формы записи комплексного числа.

6. Что называют поворотным множителем

7. Что такое комплексно сопряжённое число.

8. Записать комплексные функции времени тока и напряжения.

9. Что называется векторной диаграммой.

10. Записать амплитудное и действующее значение тока

11. Что такое векторная диаграмма, как она строится?

12. Три формы записи комплексного числа.

13. Активное сопротивление в цепи синусоидального тока. Векторная диаграмма его.

14. Индуктивное сопротивление. Формула. Векторная диаграмма тока и напряжения на катушке индуктивности.

15. Ёмкостное сопротивление. Формула. Векторная диаграмма тока и напряжения на конденсаторе.

Лекция 6.