Последовательное соединение l,c,r на переменном токе. Комплексное сопротивление и резонанс напряжений.

Z= R+j(X_L –X_C)=R+j(L-1/C) – комплексное сопротивление,

Z= R+jX- алгебраическая форма записи комплексного числа,

X= X_L –X_C.– реактивное сопротивление.

Z=ze^j - показательная форма записи,

z=(R²+X²)- модуль комплексного сопротивления,

=arctg(X/R)=arcsin(X/Z)=arcos(R/Z)-аргумент комплексного сопротивления. Для определения аргумента желательно использовать arctg(X/R)и arcsin(X/Z), т.к. cos – функция чётная и нельзя определить знак

Если параметры цепи подобраны таким образом, что справедливо |L|>|1/C|, то X>0 и >0 и напряжение опережает ток на = arctg(X/R) – цепь носит индуктивный характер (X_L>X_C). Если справедливо |L|<|1/C|, то X<0, <0, напряжение отстает от тока. В этом случае принято говорить, что цепь имеет емкостный характер (X_L<X_C).

Рис. 6.1. Векторная диаграмма сопротивлений.

Резонанс напряжений .

Рис. 6.2. Схема последовательной RLC цепи и зависимости тока и напряжений на элементах схемы от частоты.

1. u(t)= u_R(t)+ u_C(t)+ u_L(t) – закон Кирхгофа для мгновенных значений?

U_вх=U_R+Uc+U_L – для комплексных значений.

2. Z= R+j(X_L –X_C )

3. I∙Z=I∙R+jI∙X ; гдеX=X_L-X_C

4. Uвх =U_R +j(U_L-Uc) – входное напряжение

5. I²Z=I²R+jI²X; Мощность цепи - S=P+jQ

S= –полная мощность

P=I²R=Scos= - активная мощность

Q= I²X= Ssin= - реактивная мощность.

При изменении частоты входного сигнала может быть: X_L=X_C; L=1/c. В этом случае сопротивление будет носить чисто активный характер Z=R, и ток в контуре будет совпадать по фазе с выходным напряжением: I=U_вх/R. Такое явление называется резонансом.

=_р= =2f, f_р= (в опытах f=50 Гц).

Ток будет максимальным и будет определяться активным сопротивлением, когда частота равна f_р (резонансная).

Когда частота равна 0, сопротивление X_C=∞, ток равен 0, Uс=U_вх. С увеличением частоты I растет, Uc - растёт, затем спадает. Если сопротивление R мало, то при резонансе напряжений ток в цепи резко возрастает по сравнению со значениями тока при частоте отличной от f_р. Одновременно U_L и U_C могут превысить напряжение питания U. Такое превышение получается если:

U_L = U_C = I∙L = I/c >U_вх , L = 1/C>R

>R – условие превышения напряжения на реактивных элементах по сравнению с входным напряжением.

При резонансе U_L=U_C , IZ=IR+jIX

Ток в цепи одинаковый, тогда U_L и U_CU_вх

При резонансе: IZ=IR+jIX_L –jIX_C, X_L=X_C и Uвх =IR

Вывод: напряжение на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях больше, когда X_L=X_C>R,

u_вх(t)=u_R(t)+u_C(t)+u_L(t) -мгновенное значение напряжения на элементах цепи.

Построение векторных диаграмм.

Рис. 6.3. Векторная диаграмма напряжений на элементах схемы.

По действительной оси откладываем величину общую для всех элементов цепи. Для последовательного соединения это будет – ток. Ток откладывается в одном масштабе, а напряжение в другом. Масштаб напряжения и масштаб тока могут не совпадать.

- угол сдвига между током и напряжением, =arctg(X_L-X_C)/R

I

_I R

_I R

_uR

Рис. 6.4. Векторная диаграмма напряжений на элементах схемы

при резонансе a) и отсутствии его b), во втором случае начальная фаза тока больше нуля.

Если U_L=U_c, то U_R=U_вx , если X_L<X_C, то U_L< U_C.

_I – начальный угол тока,

 – угол сдвига между I и U,

_u – начальный угол напряжения.

Топографическая диаграмма – векторная диаграмма, построения по определенным правилам.

Для этого определяют комплексное значение потенциалов точек (всех) относительно одной, потенциал которой принимается за 0. При этом любому потенциалу будет соответствовать своя точка на комплексной плоскости. Переносят комплексные значения потенциалов на комплексную плоскость и рисуют соответствующие вектора.

Рис. 6.4. Схема последовательной RLC цепи.

Рис. 6.5. Топографическая диаграмма RLC цепи.

Принимаем потенциал узла _a=0. Проводим вектор U_R по направлению тока, т.к. направление U_R всегда совпадает с направлением I. Попадаем в точку (b). От этой точки откладываем вектор U_L , попадаем в точку (с). От этой точки откладываем вектор U_C и попадаем в точку (d). Соединив точки a и d получим вектор входного напряжения U_вх . В топографической диаграмме можно определить разность потенциалов между другими точками, например, между a и c.

При подключении вольтметров к элементам вышеприведённой схемы может оказаться, что второй закон Кирхгофа не выполнятся. Сумма показаний вольтметров на элементах схемы может быть больше показания вольтметра входного. Дело в том, что вольтметры показывают действующее значение напряжения, а складывать нужно вектора. Вольтметр показывает только длину вектора, но не его направление.

Тестовые вопросы по теме

1. Активное, реактивное и полное комплексное сопротивления цепи. Треугольник сопротивлений. Векторная диаграмма напряжений и токов.

2. Активная, реактивная, полная и комплексная проводимость цепи. Треугольник проводимостей. Векторная диаграмма напряжений и токов.

3. Резонансные явления в электрических цепях при последовательном соединении R,L,C - элементов, условия резонанса, векторная диаграмма, резонансные кривые.

4. Добротность, физический смысл добротности.

5. Полное комплексное сопротивление цепи. Формула.

6. Треугольник сопротивлений.

7. Что называется резонансом в электрических цепях.

8. Условие наступления резонанса напряжений.

9. Как можно добиться режима резонанса в последовательной цепи (какие параметры схемы изменять).

10. Нарисовать цепи, в которых можно наблюдать резонанс напряжений.

11. При каком условии напряжения на реактивных элементах схемы будут превышать входное напряжение.

12. При каком условии напряжения на реактивных элементах схемы по величине будут меньше входного напряжения.

13. При каком условии напряжения на реактивных элементах схемы будут по величине равны входному напряжению.

14. К источнику синусоидального напряжения u(t)=U_mSinωt подключены, последовательно соединённые резистор и конденсатор, к которым подключены вольтметры электромагнитной системы. На сопротивлении вольтметр показывает 9 В, на конденсаторе - 12 В. Определить U_m.

15. На вход последовательного RLC контура подано напряжение u(t)=141Sin628t, параметры контура: R = 10 Ом, L = 25,5 мГн, С = 398 мкФ. Определить падения напряжения на элементах контура.

16. К источнику синусоидального напряжения u(t)=U_mSinωt подключены, последовательно соединённые резистор и индуктивность, к которым подключены вольтметры электромагнитной системы. На сопротивлении вольтметр показывает 8 В, на конденсаторе - 6 В. Определить U_m.

17. На вход последовательного RLC контура подано напряжение u(t)=141Sin628t, параметры контура: R = 100 Ом, L = 25,5 мГн, С = 398 мкФ. Определить падения напряжения на элементах контура.

18. Определить модуль полного сопротивления цепи, состоящей из последовательно соединённых RLC элементов с номиналами: R = 10 Ом, X_L = 21 Ом, X_C = 11 Ом.

19. Определить угол сдвига между током и напряжением в цепи, состоящей из последовательно соединённых RLC элементов с номиналами: R = 10 Ом, X_L = 21 Ом, X_C = 11 Ом.

Лекция 7.