1.2.2 Затухающие колебания
Затуханием называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. При механических колебаниях причиной затухания является действие сил трения и излучение энергии колебаний в окружающую среду в виде упругих волн. Свободные колебания всех реальных колебательных систем являются затухающими.
Рассмотрим затухающие колебания линейной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в линейной системе:
(1.8)
где ω – циклическая частота незатухающих собственных колебаний системы, δ (с-1) – коэффициент затухания.
Решение уравнения (1.8) имеет вид:
Здесь
-
амплитуда затухающих колебаний,
-
циклическая частота затухающих колебаний.
В экспоненциальной форме уравнение затухающих колебаний записывается как:
.
График затухающих колебаний приведен на рисунке 1.4.
Рисунок 1.4 – График затухающих колебаний
Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации:
Величина, равная
называется логарифмическим декрементом затухания.
Еще одна характеристика системы, совершающей затухающие колебания, - ее добротность, равная:
где E(t) – полная энергия системы в момент времени t. Чем выше добротность системы, тем медленнее происходит в ней процесс затухания колебаний. Можно показать, что:
При увеличении коэффициента затухания циклическая частота затухающих колебаний уменьшается, и при δ≥ω процесс затухания становится апериодическим: выведенная из положения равновесия колебательная система постепенно (без колебаний) возвращается в него (рис. 1.5).
Рисунок 1.5 – Апериодическое затухание
1.2.3 Вынужденные колебания. Резонанс
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:
(1.9)
где f (t) – функция, описывающая внешнее воздействие на колебательную систему.
Рассмотрим случай гармонического внешнего воздействия:
Здесь f0 – амплитуда, а Ω – циклическая частота внешнего воздействия.
В этом случае решение дифференциального уравнения (1.9) имеет вид:
или
,
где
- амплитуда вынужденных колебаний,
начальная фаза вынужденных колебаний.
A и φ являются функциями Ω. Частота Ωр, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения Aр, называется резонансной частотой.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты внешнего воздействия к Ωр называется резонансом. Графики зависимости A(Ω) и φ(Ω) называются амплитудной и фазовой резонансными кривыми (рис. 1.6).
A
0
Ωр
ω Ω
0 ω
Ω
а) б)
Рисунок 1.6 – Резонансные кривые: а) амплитудные, б) фазовые