1.2.4 Упругие волны в сплошной среде

Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде с конечной скоростью, называются упругими или механическими волнами. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают эти возмущения, называют источниками упругих волн.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкостях и газах упругие волны всегда продольные. В твердых телах могут распространяться и продольные, и поперечные волны.

Распространение в упругой среде механических возмущений, возбуждаемых источником волн, связано с переносом энергии. Поэтому такие волны называются бегущими волнами. Скорость распространения возмущений в среде v называется скоростью волны (фазовой скоростью). Скорость распространения упругих волн зависит от плотности и упругих свойств среды.

Линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распространения волны, называется лучом. Геометрическое место точек, в которых фаза колебаний частиц среды имеет одно и то же значение, называется волновой поверхностью. В однородной среде волновые поверхности перпендикулярны лучам. В зависимости от формы волновых поверхностей различают плоские, сферические, цилиндрические и другие волны (рисунок 1.7).

Р исунок 1.7 – Плоская и сферическая волны

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси Ox (в положительном направлении), имеет вид:

Если волна распространяется в отрицательном направлении оси Ox, то:

Если колебания частиц в волне гармонические, то волна называется гармонической или монохроматической. Уравнение плоской гармонической волны, бегущей вдоль оси Ox, может быть записано в виде:

.

Здесь A – амплитуда колебаний в волне, - циклическая частота волны, - волновое число, - фаза волны.

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны λ (м):

С учетом этого волновое число можно представить в виде:

График зависимости s(x) в плоской гармонической волне для некоторого момента времени t представлен на рисунке 1.8.

Р исунок 1.8 – Плоская гармоническая волна

В случае, когда плоская волна распространяется в произвольном направлении, ее уравнение имеет вид:

Здесь - волновой вектор. Его модуль равен волновому числу k, а направление совпадает с направлением распространения волны в точке с радус-вектором .

Экспоненциальная форма записи уравнения плоской волны:

Уравнение расходящейся сферической волны:

В случае монохроматической сферической волны:

Дифференциальное уравнение, описывающее распространение волн в однородной изотропной непоглощающей среде со скоростью v, называется волновым уравнением и имеет вид:

где - оператор Лапласа.

Если волна гармоническая, то , и волновое уравнерие принимает вид:

Это уравнение называется уравнением Гельмгольца.

Амплитуда, начальная фаза и частота волны определяются колебаниями в источнике волн. Фазовая скорость волны, как уже было сказано выше, зависит от физических свойств среды, в которой распространяется волна.