2 Жиындарға қолданылатын амалдар.

5 анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп, элементтері А және В жиындарының кем дегенде біреуіне тиісті болатын жиынды атайды.

Белгіленуі: AB={x xA немесе xB}.

Мысал. A={1,2,3} B={2,3,4}; AB={1,2,3,4}

Көрнекілік үшін Эйлера-Венн диаграммасын қолдану ыңғайлы .

6 анықтама. А және В жиындарының қиылысуы деп, элементтері бір мезгілде А және В жиындарына тиісті болатын жиынды атайды.

Белгіленуі: А ∩ В = {х | х A және хB}

Мысал: А = {1, 2, 3} В = {2, 3,4} А ∩ В = {2, 3}

U

А ∩ В

,  амалдарының қасиеттері:

3. Коммутативті: А  В = B  A; А  В = B  A

2. Ассоциативті: (А  В)  С = А  (В  С);

(А  В)  С = А  (В  С).

3. Дистрибутивті: А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

А  (В  С) = (А  В)  (А  С).

4. Идемпотентті: А  A = A; А  A = A

5. А   = A; А   = ;

А  U = U; A  U = A. 3 қасиетті диаграмма арқылы көрсетейік.

U

U

B A

C B

C

A  (BC) (AB)  (AC)

7 анықтама. А және В жиындарының айырмасы деп, элементтері А жиынына тиісті, ал В жиынына тиісті емес жиынды атайды.

Белгіленуі: А \ В = {x | x  A және x  B}.

Мысал: А = {1, 2, 3} В = {2, 3, 4}

А \ В = {1} В \ А = {4}

Бұл мысалдан азайту амалының коммутативті емес екендігі көрінеді.

A U

B

A\B B\A

8 анықтама. B  A жағдйына аса нзар аударайық.

Егер B  A болса, онда A \ B = _а айырмасы В жиынын А жиынына дейін толықтыру деп аталады.

Мысал: В = {1, 3, 5} А = {1, 2,3,4,5}

_а = {2, 4} _в = 

A

B

Жиі жағдайда А жиыны ретінде универсал U жиыны қарастырылады.

Белгіленуі: _и =

Азайту және толықтауыш амалдарының қасиеттері

6. А \  = A;  \ А = 

7.  = U; = 

8. А  = ; А  = U

9. Де Морган заңдары: =  ; = 

10. Инволюция заңы(екі рет терістеу): = А.

Жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі

Біз жиындарға қолданылатын төрт амалды қарастырдық. Енді тағы да бір амал – жиындардың тура көбейтіндісін қарастырамыз.

А және В жиындары берілсін. <a,b> түріндегі барлық реттелген қостар жиынтығын қарастырамыз, мұндағы aЄA, bЄB. Белгілі бір ретте алынған екі элементті жиын реттелген қос деп аталады.

‹a, b› ≠ ‹b, a›

‹a, b› = ‹b, a›, егер a = b.

Қасиеті: ‹a, b› = ‹с, d› ↔ a = c, b = d

(Геометрияда: жазықтықтың кез келген нүктесі ‹x, y› - нүктенің координатасы деп аталатын екі сан арқылы бірмәнді анықталады, мұндағы бірінші сан х – абсцисса деп, ал екінші сан y – ордината деп аталады.)

1 анықтама. ‹x, y› түріндегі барлық реттелген қостар жиыны, мұндағы

x Є A, y Є B жиындардың тура (декартты) көбейтіндісі деп аталады.

Жазылу түрі: АВ = {‹x,y› | x Є A ^ y Є B}

Кез келген көрсетілген ретте алынған А және В жиындары үшін, олардың жалғыз түрде тура көбейтіндісі табылады: AB=Ø <=> А=Ø ν B = Ø.

Егер A және B – ақырлы жиындар болса, онда AB – ақырлы болады.

Мысал. А={-2,0,5} B={3,5}, AB={(-2,3),(-2,5),(0,3),(0,5),(5,3),(5,5)}

Яғни АB көбейтіндісінде 6 элемент бар.

Декартты көбейтінді түсінігінің геометриялық мағынасын қарастырайық.

AB жиынының геометриялық моделі.

BA={(3,-2),(3,0),(3,5),(5,-2),(5,0),(5,5)} табайық, яғни АВ ≠ BA.

Осы мысалдан жиындардың тура көбейтіндісінің коммутативті емес екендігі көрінеді.

|A| арқылы ақырлы жиындағы элементтер санын белгілейік,

онда |АВ|=6.

Егер A – а₁, … а_n әртүрлі n элементтерден тұратын ақырлы жиын, ал В – b₁, ... b_m әртүрлі m элементтерден тұратын ақырлы жиын болса, онда AB жиынының құрамында (a₁,b₁),(a₁,b₂), ... , (a_n,b_m), ... , (a_n,b_m) m*n әртүрлі элементтер бар=› |AB|=|A||B|

Егер А және В жиындары өзара тең болса, онда А жиынын өзіне-өзін көбейту тура енемесе декартты квадрат деп аталады және AA=А² түрінде белгіленеді.

Анықталған ретте алынған үш элементтен тұратын жиын реттелген үштік деп аталады.

Үш жиынның тура көбейтіндісі ұғымын келесі түрде енгіземіз: ABС = {‹x, y, z› | x Є A, y Є B, z Є C}

Енді жазықтықтағы нүктелер жиынын RR=R² (нақты сандар жиыны) түріндегі тура көбейтінді ретінде көрсетеміз, ал кеңістіктегі нүктелер жиынын RRR=R³ түрінде көрсетеміз.

A₁,A₂, ... ,A_n n жиындар берілсін (әр түрлі болуы міндетті емес).

Реттелген қос түсінігінің жалпылауы n элементтен тұратын кортеж болады; ‹a₁,a₂, ... , a_n› түрінде белгіленеді және ұзындығы n – ге тең кортеж деп аталады.

2 анықтама. (a₁,a₂, ... , a_n), а_i Є A_i (i=1, ... , n) түріндегі барлық реттелген кортеждер жиыны n жиынның тура көбейтіндісі деп аталады және келесі түрде белгіленеді A₁A₂..A_n .

Сонымен: А₁A₂...A_n= {‹a₁,, a_n› | a₁ЄA₁, ... , a_nЄA_n}.

Егер барлық А_i өзара тең болса, онда n-жиынның тура көбейтіндісі. АA…A=Аⁿ белгіленеді және А жиынының n дәрежесі деп аталады.

Егер А – ақырлы жиын және оның элементтерінің саны m – ге тең болса, яғни |A| = m болса, онда Аⁿ жиынындағы элементтер саны mⁿ болады. Дәлелдеуі:

|Аⁿ| = |A...A| = |А|ⁿ = mⁿ

3-дәрістің тақырыбы: Бинарлық сәйкестіктер және оларға амалдар қолдану.

Жоспары:

1. Жиындарды бейнелеу. Бинарлық қатынастар. Эквиваленттік қатынас. Фактор-жиын. Дербес және сызықты реттіліктер.

2. Тең қуаттас жиындар. Кантор теоремасы.

3. Шекті және шексіз жиындар. Саналатын жиындар. Саналмайтын жиындардың бар болуы.

Бейнелеулер

3 анықтама. Қандай да бір А жиынның әрбір элементін В жиынының тек қана бір элементімен салыстыратын f сәйкестігі A жиынын B жиынына бейнелеу деп аталады немесе В-дан мәндер қабылдайтын А анықталу облысы бар функция деп аталады.

Жазылу түрі: f: АВ

xу = f (x), у – х элеметінің бейнесі,

х – у элементінің түпкі бейнесі.

f арқылы осы сәйкестік орнатылатын бейнелеуді (ережені ) белгілейді.

Венн диграммасы арқылы сәйкестік келесі түрде бейнеленеді.

Сонымен, бейнелеуді (функцияны) үш жиын арқылы көрсетуге болады:

А, В және < x, y> AB дан алынған барлық реттелген қостар жиыны, н мұндағы у = f (x).

3^/ анықтама. Бейнелеу (функция) деп

<A,B,S > үштігі аталады, мұндағы S = {<x, y>  AB, y = f (x)}.

A – жиыны бейнелеудің анықталу облысы,

B – мәндер жиыны,

S – берілген бейнелеудің графигі.

Бейнелеудің түрлері

4 анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынындағы бір ғана элементтің бейнесі болса, онда А жиынын В жиынына бейнелеу инъективті деп аталады.

Мысалы: х₁х₂  f (х₁)  f (х₂)  х₁, х₂ A.

5 анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының кем дегенде бір элемнтінің бейнесі болса, онда А жиынын В жиынына бейнелеу сюръективті деп аталады.

Инъекция Сюръекция

6 анықтама. Бір мезгілде сюръективті және инъективті болатын бейнелеу биективті бейнелеу немесе өзара бірмәнді сәйкестік деп аталады.

f бейнелеуі биективті деп аталады, егер кез-келген  bB А жиынындағы элементтің жалғыз бейнесі болса.

Бейнелеу емес. Бейнелеу емес.

инъекция, сюръекция емес жай бейнелеу

(инъекция емес, сюръекция емес)

Бейнелеу биекция

(сюръекция, инъекция емес)

7 анықтама. :AB, :BC бейнелеулері берілсін. f (x) =  ( (x)) формуласымен анықталған f:AС бейнелеуі ,  бейнелеулерінің суперпозициясы (немесе композициясы) деп аталады.

Белгіленуі:    .

Кей-кезде суперпозиция көбейтінді деп аталады.

1. Бейнелеулердің суперпозиция операциясы ассоциативті:

: АВ; : BC; f: AC болсын

f  (  ) = (f  )  

2) Бейнелеулердің суперпозиция операциясы коммутативті емес, яғни  f, : f      f