Ы.Алтынсарин атындағы арқалық мемлекеттік педагогикалық институты

Жаратылыстану және ақпараттандыру факультеті

Математика және физика кафедрасы

Дәріс кешені

Математикалық логика және дискретті математика пәні бойынша

5В010900 «Математика» мамандығына арналған

Дәріс кешенінің құрылымы

І Модуль Жиындар теориясының элементтері.

1-дәрістің тақырыбы: Әртүрлі құбылыстарды зерттеу процесінде дискретті және үздіксіздік ұғымдарының арасындағы қатынастар.

Жоспары:

1. Математикалық білім беру жүйесіндегі дискретті математиканың алатын орны.

2. Дискретті құбылыстардың мысалдары.

Математикалық логика жоғары математиканың бір (бөлімі) саласы болып табылады. Математикалық логиканың заңдары мен әдістері арқылы түрлі процестерге, жүйелерге, құбылыстарға зерттеулер жүргізуге болады. Математикалық логиканың негізгі обьектілерінің бірі тұжырымдар.

Дискретті математика және математикалық логика курсын оқып білудің ең қысқа жолы қандайда бір ұғымды түсіндіру - яғни, сол ұғымның дәл анықтамасын беру. Оқып танудың алғашқы этапында теореманы түсіндіру, оның мағынасын және бұрын оқыған фактілермен байланысын анықтау-теореманы дәлелдеу. Дәлелдеу қарапайым, түсінікті болу қажетті, ал бұл оңай мәселе емес. Бірақ сонымен теореманы толығымен оқып таныдық деген қате пікір. Дәлелденген теореманың басқа теориялық сұрақтарды оқып тануда және кейбір есептердің шығарылуы үшін қолданылуын білгеннен кейін ғана теоремның мағынасы мен ролі толық ашылды деп айтуға болады. Теориялық тұжырымдардың мағынасын түсіндіретін кейбір арнайы мысалдардың толық талдауларының ролі де өте зор. Әрине кейбір теоремаларды дәлелдеусіз де келтіруге болады. Бірақ пәнді оқып танудың алғашқы қадамдарында ондай формалдылықты жасау қалаусыз.

Демек, жиындар теориясы бөлімдерінде негізгі теоремалардың дәлелдеулері берілуі қажет.

2-дәрістің тақырыбы: Жиындар теориясының элементтері.

Жоспары:

1. Жиындар және олардың берілу тәсілдері.

2. Жиындарды енгізу және олардың қасиеттері. Жиындардың теңдігі.

3. Жиындардың бірігуі және қиылысуы. Жиындардың айырымы.

4. Реттелген тізбектер. Жиындардың тура көбейтіндісі және оның қасиеттері

Жиын түсінігі математиканың негізгі түсініктерінің бірі болып табылады. Бұл түсінікке қатаң түрде анықтама беруге болмайды.

Жиындар теориясының негізін қалаған неміс математигі Георг Кантор (1845-1918) жиын түснігін келесі түрде анықтаған: «Бірнеше заттардың, объектілердің қандай да бір белгісіне қарай біртұтас болып бірігуі жиынды анықтайды».

Кез келген жиындар A,B,C… үлкен латын әріптері арқылы белгіленеді. Жиынды құрайтын заттар (объектілер) оның элементтері деп аталады және а, b, c, … , x… кіші латын әріптерімен белгіленеді.

М={x, y, z,…} жазуы М жиыны x, y, z,… элементтерінен тұрады дегенді білдіреді.

а  М – а элементі М жиынына тиісті, ““ - тиістілік белгісі

Егер жиынның құрамындағы элементтер саны ақырлы болса, онда жиын шектелген деп аталады, ал керісінше жағдайда шектелмеген деп аталады.

1 анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынына тиісті болса, онда А жиыны В жиынының ішкі жиыны деп аталады, яғни , егер x  A онда x  В.

Белгіленуі: А  В- А жиыны B жиынының ішкі жиыны.

Мысал. А={1,2} B={1,2,{1,3}} AB

2 анықтама. Құрамында бірде-бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және  белгіленеді.

Берілген анықтамадан келесі қорытынды жасауға болады:

1. 1. Әрбір жиын өзінің ішкі жиыны болады, яғни

2. 2. Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады, яғни 

Универсал жиын деп, қандай-да бір берілген, анықталған, бізге белгілі жиынды атайды және U деп белгіленеді.

Мысалы стереометрияда: кеңістіктегі барлық нүктелер жиыны .

Алгебрада: Сандық жиындар үшін - C жиыны;

элементар алгебрада – R жиыны.

3 анықтама. Құрамында бірдей элементтері бар екі жиын өзара тең деп аталады.

Егер А жиынының кез келген элементі В жиынына тиісті болса және керісінше болса, яғни бір мезгілде

1)AB 2)BA екі шарт орындалса, онда А және В жиындары өзара тең болады.

Екі жиынның теңдігі ескерту негізінде дәлелденеді.

Меншікті ішкі жиын.

4 анықтама. Егер А жиынының ішкі жиыны А жиынынан өзгеше және бос емес жиын болса, онда ол А жиынының меншікті ішкі жиын деп аталады. Анықтамадан  және берілген А жиынының өзі меншіксіз ішкі жиындар болып табылады.

Мысал. A = {a, b, c}

A жиынының 2 меншіксіз ішкі жиындары: , A және 6 меншікті ішкі жиындары бар: {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}.

Жиындардың берілу тәсілдері

1) Жиын оның барлық элементтерін санау арқылы беріледі (тек қана ақырлы жиындар үшін қолданылады, оның өзінде бәріне емес).

A={x , x ,, x }

2) Жиынның элементтерінің сипаттамалық қасиеттерін көрсету арқылы: