Варианты лабораторной работы
Вариант 1
1)
2)
3)
Вариант 2
1)
2)
3)
Вариант 3
1)
2)
3)
Вариант 4
1)
2)
3)
Вариант 5
1)
2)
3)
Вариант 6
1)
2)
3)
Вариант 7
1)
2)
3)
Вариант 8
1)
2)
3)
Вариант 9
1)
2)
3)
Вариант 10
1)
2)
3)
Вариант 11
1)
2)
3)
Вариант 12
1)
2)
3)
Вариант 13
1)
2)
3)
Лабораторная работа № 2 комплексные числа
Комплексное число в алгебраической форме имеет вид а+bi (1), где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, причем i2= 1. В записи (1) bi называется мнимой частью, а – действительной частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными только в том случае, когда равны их мнимые и действительные части.
Для комплексных чисел вида (1) имеют место следующие операции:
а)
сложение (вычитание):
;
б)
умножение:
;
в)
(деление возможно только в том случае, когда c+di≠0 (c2+d2≠0)).
Введенные операции обладают всеми свойствами аналогичных операций над действительными числами. Следует обратить внимание, что i2= 1, i3= i, i4=1, i5=i, i6= 1, … .
Комплексные числа можно отождествить (изобразить) точками некоторой комплексной плоскости, в которой расположим прямоугольную систему координат OXY, причем OX назовем действительной осью и на ней будем откладывать действительную часть комплексного числа, а ось OY – мнимой осью, на ней будем откладывать мнимую часть. Комплексное число а+bi будет точкой этой плоскости.
К
Рис.1
Для
приведения комплексного числа а+bi
к тригонометрической форме используют
формулы cosφ=
и sinφ=
,
из которых находят значения φ, а
.
Пример
1. Найти
тригонометрическую форму комплексного
числа A.
;
Б. 5i;
В. 5+3i.
Решение.
А. Так как
,
то а=1, b=
,
.
Тогда cosφ=
;
sinφ=
.
Откуда следует, что φ=
.
Окончательно получаем, что
.
Б.
Изобразим число 5i
на комплексной плоскости. Очевидно, что
оно расположено на оси ОY,
т.е. модуль r=5,
а аргумент равен
.
Записываем число 5i
в тригонометрической форме
.
В.
Модуль z
числа 5+3i
равен
,
аргумент φ его находим из соотношений
cosφ=
,
sinφ=
по таблицам. Записываем число 5+3i
в тригонометрической форме
(cosφ+isinφ).
Сложение и вычитание комплексных чисел можно истолковать геометрически. Пусть даны числа α=a+bi, β=c+di. Соединим отвечающие им точки на комплексной плоскости с началом координат и построим на этих отрезках, как на сторонах, параллелограмм. Четвертой вершиной этого параллелограмма будет точка, которая отвечает числу α+β (рис.2).
Рис.2
Рис.2
Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат, модуль суммы векторов α и β равен длине диагонали ОС параллелограмма АОВС.
В
Рис.3
ычитание
комплексных чисел можно заменить
сложением αβ=α+(β),
поэтому геометрически разность векторов
можно описать так. На комплексной
плоскости отмечаем точки А, В, Д,
соответствующие числам α, β и –β.
Складываем числа α и –β, т.е. строим
параллелограмм АОДК (рис.3). Точка К,
четвертая вершинпараллелограмма
отвечает числу αβ.
Действия умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня удобно производить, когда эти числа заданы в тригонометрической форме следующим образом:
[r(cosφ+isinφ)][R(cosψ+isinψ)]=rR(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ));
;
[r(cosφ+isinφ)]n=rn(cosnφ+isinnφ);
k=0,1,…,n1.
Пример 3. Найти
.
Решение. Запишем число в тригонометрической форме
.
Применим формулу Муавра
Пример 4.
Найти
.
Решение.
Запишем число i в
тригонометрической форме
.
Применяем формулу
Записываем значения корня последовательно для k=0,1,2:
Пример 5.
Найти геометрическое место точек,
изображающих числа z,
удовлетворяющих неравенству: А. │z│≤5,
Б.
≤π,
В. │z–3i│>2.
Решение.
А. Так как модуль комплексного числа есть расстояние от начала координат до точки, изображающей его, то точки, изображающие комплексные числа с условием │z│≤5, составляют круг радиуса 5 с центром в начале координат. Точки окружности также принадлежат этой области.
Б. Так как аргумент комплексного числа – это угол, составленный положительным направлением оси ОХ и отрезком, соединяющим начало координат с точкой, изображающей его, то геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющее соотношению ≤π, есть множество точек второго координатного угла. Точки оси ОХ входят, а точки оси ОY не входят в эту область.
В
.
Из геометрического смысла вычитания
следует, что такие точки составляют
внешнюю часть окружности радиуса 2 с
центром в точке А, отвечающей числу 3i.
Точки окружности в эту область не входят
(рис.4).
И
Рис.4
.
Из равенства a+bi=(u+vi)2
следует
.
Из этой системы уравнений нам надо найти
u, v. Возведем
в квадрат обе части каждого из этих
уравнений и сложим, получаем
(u2–v2)2+4u2v2=a2+b2,
откуда
.
Учитывая, что u2–v2=a,
находим
.
Тогда
.
Полученные значения u, v
нельзя комбинировать между собой
произвольным образом, так как знак
произведения uv должен
совпадать со знаком числа b.
Это дает две возможные комбинации u,
v, т.е. два числа вида u+iv,
которые являются значениями квадратного
корня из числа a+bi.
Эти числа отличаются друг от друга
знаком.
Пример 6.
Найти
.
Решение.
Обозначим
.
Для вычисления u и v
применяем формулы
.
Знаки u и v
должны быть различными, так как b=
20<0, поэтому
.
Пример 7. Решить уравнение x2– (2+i)x+(–1+7i)=0.
Решение. По
формуле корней квадратного уравнения
,
или
.
Извлечение квадратного корня производим
как и в предыдущем примере:
.
Таким образом,
,
поэтому,
Ответ: x1= 1+2i; x2=3i.