Лабораторная работа №6 матрицы

Пусть дана матрица

,

где a_ij – некоторые числа. Будем её обозначать A=(a_ij).

Две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) называются равными, если их размеры (число строк и число столбцов) совпадают и соответствующие элементы равны, т.е. при всех i, j: a_ij=b_ij.

Суммой двух матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) одинаковых размеров называется матрица C=(c_ij) (что обозначается C=A+B) тех же размеров, элементы которой определяются равенствами для всех i, j: c_ij=a_ij+b_ij.

Произведением матрицы A=(a_ij) на число α называется матрица B=(b_ij) (что обозначается B=α∙A=A∙α), элементы которой определяются равенствами для всех i, j: b_ij=αa_ij.

Для этих операций справедливы следующие свойства:

1. A+B=B+A;

2. A+(B+C)=(A+B)+C;

3. 0=(0), что A+0=A;

4. Для A (A), что A+(A)=0;

5. α (A+B)=αA+αB;

6. (α+β)A=αA+βA;

7. α(βA)=(α∙β)A.

Умножение матрицы A=(a_ij) на матрицу B=(b_ij) определяется только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Произведением матрицы A=(a_ij) на матрицу B=(b_ij) называется матрица C=(c_ij), элементы которой определяются равенствами: , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Таким образом, элемент матрицы C=AB, расположенный в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Отметим основные свойства произведения матриц (считая, конечно, что все написанные произведения имеют смысл):

1. в общем случае AB≠BA;

2. A0=0A=0, где 0 – нулевая матрица;

3. AE=EA=A, где E – единичная матрица;

4. (A+B)C=AC+BC;

5. A(B+C)=AB+AC;

6. (AB)C=A(BC);

7. если A и B квадратные матрицы одного порядка, то det(AB)= detA∙detB.

Если A – квадратная матрица, то матрица B такая, что AB=BA=E, называется обратной относительно A и обозначается A^-1, т.е. AA^-1= A^-1A=E.

Справедлива следующая теорема: Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной (т.е. detA≠0).

Обратная матрица невырожденной матрицы A=(a_ij) единственная и имеет вид:

,

где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij в detA, причём элементами i-ой строки матрицы A^-1 являются алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы A=(a_ij).

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице А .

Решение. Находим определитель матрицы А, ∆=detA= –3. Так как ∆≠0, то обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A в определителе ∆. Напоминаем, что алгебраическое дополнение элемента a_ij находится по формуле A_ij=(–1)^i+jM_ij.

Для элементов матрицы A получаем

; ;

; ;

; ;

A₃₁= –3, A₃₂=0, A₃₃=0.

Составим обратную матрицу

.

Выражение AXB=C, AX=B, XA=B, где A,B,C – матрицы и X – неизвестная матрица, называется матричным уравнением.

Если матрица A невырожденная, то уравнения AX=B, XA=B имеют единственное решение, соответственно X=A^-1B и X=BA^-1. Если матрица A – вырожденная, то принимаем элементы матрица X за неизвестные, вычисляем произведение и приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой части уравнения.

Пример 2. Решить матричное уравнение .

Решение. Так как , то матричное уравнение имеет единственное решение . Находим обратную матрицу для матрицы . Так как A₁₁=2, A₁₂=3, A₂₁=1, A₂₂=2, поэтому , .

Проверка: , .

Получаем ответ: .

Пример 3. Найти все решения уравнения .

Решение. Для матрицы обратная матрица не существует. Запишем искомую матрицу в виде . Тогда данное уравнение примет вид или .

Откуда получаем систему уравнений

Для нахождения ее решения достаточно найти решение системы

Эта система имеет бесчисленное множество решений

, где x₃, x₄ – любые числа.

Ответ: Данному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество матриц вида , где x₃, x₄ – любые числа.