1.2. Основные способы многоцелевого управления

При управлении различными объектами, ЛПР сталкивается с его многоцелевым характером (многозначность обобщенного критерия в соответствии с рис.1В). При этом обычно выполнить все цели не представляется возможным. Всегда приходится жертвовать полным выполнением одних ради выполнения других. Таким образом, принятое решение одновременно является компромиссным.

Как правило, причина этого - противоречивость целей. Например, цель поддержания экономичного режима работающего оборудования достаточно часто вступает в противоречие с факторами надежностного состояния этого оборудования. Очевидно, что поиск компромиссных решений является центральной задачей многоцелевого управления.

Несмотря на то, что ЛПР использует при управлении предшествующий опыт, интуицию и возможность оперировать при этом качественной, а зачастую и расплывчатой информацией о сложившейся ситуации, очевидно, целесообразно ориентироваться не только на них. Несомненно, что человек проявил бы еще в большей степени перечисленные выше качества, да еще и с большей эффективностью, если бы имел определенную интеллектуальную поддержку тех решений, которые ему необходимо оценить. В таких условиях современные математические методы и приемы должны быть направлены на описание качественной информации, предварительный отбор и описание альтернативных решений, чтобы ЛПР получило по возможности более ясное представление, по крайней мере, о качественной стороне достоинств и недостатков этих альтернатив.

Остановимся более подробно на методах многоцелевого управления, которые предназначены для получения альтернативных решений.

Парето-оптимальные решения многокритериальных задач

Понятие множество оптимальных по Парето решений является одной из основополагающих идей в теории принятия решений и ее методологическим фундаментом. Это множество используется в тех случаях, когда в многокритериальных задачах различные критерии несопоставимы.

Под множеством Парето-оптимальных решений понимают такое, когда ни одно из решений этого множества не может быть заменено более хорошим по какому-либо критерию без того, чтобы не ухудшить решение хотя бы по одному другому критерию. Таким образом, каждое решение, принадлежащее множеству Парето (_p), лучше других из этого множества по каким-то одним критериям и хуже - по другим. Так как критерии несопоставимы, то среди решений нет ни одного, которое было бы лучше во всех отношениях. Решения, не включенные в Парето-множество, хуже, по крайней мере, по одному критерию.

Предположим, имеются два несопоставимых критерия x₁ и x₂, причем требуется максимизировать оба (следует отметить, что смысл рассуждений сохраняется и при минимизации). Множество допустимых решений образует показанную на рис. 1.4 область, находящуюся в первом квадранте.

b  b

b > b

Рис 1.4.

Все промежуточные точки решения на кривой a-f лучше по обоим критериям точек (решений), находящихся внутри области допустимых решений. Переход же от решения, характеризующегося точкой а, к решению, предпо-ложим, в точке в и наоборот соответствует ухудшению одного из критериев. Поэтому кривая a-f называется эффективным или Парето-оптимальным множеством. При этом легко убедиться, что решения, не худшие чем в (в’ в), заполняют прямой угол, стороны которого параллельны осям координат, а точки, лучшие чем в, составляют внутренность этого угла (в”>в). Таким образом, Парето-оптимальное множество _p содержит только те решения x^*, для которых множество P(x^*) является пустым, т.е. P(x^*)=

Пример: Пусть  = x¹, x²,..., x⁶, т.е. имеется 6 решений. Каждое решение характеризуется следующими двойками значений критериев (рис. 1.5):

Рис 1.5

Отсюда

Из этого следует, что только два решения (x¹ и x⁶) являются Парето-оптимальными множествами.

Метод средневзвешенного критерия

Предположим, при принятии решений имеется i различных целей, каждую из которых можно охарактеризовать своим критерием f_i. Если существует способ взвесить каждый критерий по степени его важности (или полезности) в общем многокритериальном пространстве, то появляется возможность алгебраического соизмерения предпочтительности одних целей перед другими, т.е. заменой всех f_i одной общей функцией f :

, (1.1)

где v_i - весовые коэффициенты критериев, с помощью которых происходит свертка критериев, причем , т.е. весовые коэффициенты выступают в выражении (2.1) как нормированные.

Очевидно, что выражение (2.1) является однокритериальной формой записи многокритериальной задачи, которая представляется как некоторая синтезированная цель. Очень часто этот способ решения многокритериальных задач называют методом весовых показателей или методом скаляризации, подразумевая при этом, что вектор цели измеряется его проекциями с помощью процедуры взвешивания.

Метод жесткого приоритета целей

Все рассматриваемые цели ранжируются. При этом выделяется один - самый главный, а остальные переводятся в ограничения. Предположим, критерии целей выстраивают по приоритету, причем на первом месте стоит самый главный критерий: .

С помощью выбранного наиболее важного критерия f₁ формируется однокритериальная целевая функция, которая позволяет получить некоторое множество допустимых решений:

(1.2)

Если f₁ имеет детерминированное значение, то и решение является единственным; при вероятностном характере f₁ появляется некоторое подмножество вероятно-оптимальных планов.

Использование теории возможностей

для нечеткой свертки критериев

В основе этого способа решения многокритериальных задач (многоце-левого управления) лежит возможность представления целей и ограничений, накладываемых на них, с помощью нечетких множеств, которые объединяют элементы субъективных предпочтений. Задачу свертывания критериев можно рассматривать как задачу комбинирования нечетких множеств с помощью теоретико-множественных операций над ними. При этом отдельная целевая функция может быть представлена как некоторое нечеткое множество, ограничивающее допустимые значения соответствующего критерия.

Целевая функция , связываемая с критерием c_i, будет описываться нечетким множеством G_i , причем величина _Gi (x) есть степень совместимости между значением оценки x, характеризующим объект, и желанием ЛПР. В ряде случаев его желание может быть описано в лингвистической форме и представлено с помощью функции принадлежности _Gi. Ядро нечеткого множества G_i соответствует оценкам, полностью совместимым с целью. Оценки, расположенные вне носителя нечеткого множества (SR_Gi и SL_Gi), оказываются полностью несовместимыми с целью. Оценка _Gi не может быть точной, тем не менее форма кривой позволяет выразить индивидуальные особенности предпочтений ЛПР.

Самым простым способом формирования дискретной шкалы индивидуальных предпочтений ЛПР является лингвистическое выражение уровней совместимости между оценкой и целью, как показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1