1.1.2. Непрерывно-стохастические модели (q –схемы)

Непрерывно-стохастический подход в моделировании основан на применении теории систем массового обслуживания (СМО). Подход выражается в построении Q-схем (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем. Это могут быть потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации серверами от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени. т. е. стохастический характер процесса их функционирования.

Элементарная Q-схема изображена на рисунке 1.1 и представляет собой , канал (прибор) обслуживания поступающих на его вход заявок (требований). В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания и собственно обслуживание заявки.

Рисунок 1.1 — Элементарная Q-схема

Элементарная Q-схема состоит из:

— прибора обслуживания П_i;

— накопителя заявок Н_i, в котором может одновременно находиться заявок, где — емкость i-го накопителя;

— канала обслуживания заявок (или просто канала) K_i.

На каждый элемент прибора обслуживания П_i, поступают потоки событий:

— поток заявок w_i в накопитель H_i ;

— поток обслуживании u_i на канал K_i;

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Поток событий может быть однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий. Поток неоднородных событий характеризуется моментами поступления этих событий и набором признаков события. Например, для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Обычно в приложениях при моделировании СМО применительно к элементарному каналу обслуживания К_i, считают, что поток заявок , а именно интервалы времени между поступлениями заявок, образует подмножество входных неуправляемых переменных.

Поток обслуживания заявок , или интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом K_i и заявки, покинувшие прибор П_i по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток . Таким образом, интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания П_i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени z_i(t). Переход в новое состояние для П_i означает изменение количества заявок, которые в нем находятся, а именно — в канале К_i и в накопителе H_i. Таким образом, вектор состояний для П_i имеет вид Z_i=(z_i^H, z_i^K) , , .

Реальные системы описать отдельным элементарным прибором обслуживания невозможно, поэтому на практике применяют композиции многих элементарных приборов обслуживания. Если каналы П_i соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание — многоканальная Q-схема. Если приборы П_i и их многоканальные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание — многофазная Q-схема. Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (накопителей и каналов) между собой. Связи между элементами Q-схемы отражают в виде стрелок — направлений движения заявок.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы являются:

— количество фаз L_ф;

— количество каналов в каждой фазе;

— количество накопителей в каждой фазе и емкость каждого накопителя и его характеристики.

Всю совокупность собственных параметров Q-схемы обозначим G.

Далее, для задания Q-схемы необходимо описать алгоритмы ее функционирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в неоднозначных ситуациях (дисциплины обслуживания; приоритеты — относительные и абсолютные, статические и динамические; набор правил, по которым заявки покидают накопители и каналы обслуживания). Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов A.

Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задается в виде:

Q={W, U, G, Z, R, A}.

W — входящий поток — характеристики потока

U — поток обслуживания — характеристики потока

G — подмножество собственных параметров системы

Z — подмножество состояний системы

R — оператор сопряжения элементов структуры

A — оператор алгоритмов обслуживания заявок.

Возможности оценки характеристик систем с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания являются весьма ограниченными по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, формализуемых в виде Q-схем. Несравненно большими возможностями обладают ИМ, позволяющие исследовать Q-схему, задаваемую в виде Q={W, U, G, Z, R, A} без ограничений, в том числе, и для определения оптимальных параметров СМО.