3.3. Порядок проведения эксперимента.

При РЦКП стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов проводятся так же, как и при ОЦКП. Несколько отличаются соотношения для расчета оценок коэффициентов регрессионного уравнения и их дисперсий. При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости эксперимента, что уменьшает число опытов по сравнению с ОЦКП. Дисперсия воспроизводимости может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана.

3.4. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения.

Формулы для расчета коэффициентов полинома и их дисперсий при РЦКП значительно сложнее, чем при ОЦКП. При рототабельном планировании для вычисления оценок коэффициентов регрессии и соответствующих оценок дисперсии находят следующие вспомогательные величины:

, (23)

, (24)

, (25)

где k — число факторов, N — общее число опытов рототабельного планирования, N₀ — число опытов в центре плана.

Далее на основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:

— для свободного члена

, (26)

— для линейных слагаемых

, (27)

— для парных взаимодействий

, (28)

— для квадратичных переменных

. (29)

Формулы для расчета коэффициентов регрессионной модели с учетом (23) — (29) будут иметь следующий вид:

— для свободного члена

; (30)

— для линейных слагаемых

; (31)

— для парных взаимодействий

; (32)

— для квадратичных переменных

. (33)

Оценку дисперсии воспроизводимости можно вычислить на основании результатов опытов, проведенных в центре плана. Среднее значение отклика равно

,

тогда (34)

.

Дисперсия вычислена для числа степеней свободы γ=N₀-1.

3.5.Исследование свойств квадратичной регрессионной модели

3.5.1. Анализ значимости коэффициентов регрессии. Как и для ОЦКП, точность оценки коэффициентов регрессии при использовании РЦКП для разных групп неодинакова, поскольку условие нормировки и в этом случае не соблюдается, т.к. (u – номер любого столбца, кроме нулевого).

Проверка значимости коэффициентов проводится точно также, как и для коэффициентов, построенных на основании ОЦКП (пункт 2.5), однако, формулы для вычисления оценки дисперсий коэффициентов иные. Расчетные соотношения приведены ниже:

, (35)

, (36)

, (37)

, (38)

где s²_воспр — дисперсия воспроизводимости, вычисленная в соответствии с (34).

Кроме того, если параллельные опыты проводились только в центре плана, то число степеней свободы для значения критерия Стьюдента вычисляется в соответствии с выражением γ=N-K-1+N₀(m-1), где K — количество коэффициентов регрессионной модели.

Необходимо помнить, что при РЦКП оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях не коррелированы с оценками других коэффициентов, а при квадратичных членах – коррелированны между собой и оценкой свободного члена. Исключение любого из квадратичных членов приводит к изменению оценок остальных, а также оценки свободного члена b₀.

3.5.2. Проверка адекватности модели. Проверка адекватности полученной регрессионной модели проводится по критерию Фишера, в соответствии с расчетным соотношением (21).

Оценим остаточную дисперсию построенной регрессионной модели. Будем предполагать, что параллельные опыты проводятся только в центральных точках плана. Тогда остаточная сумма квадратов отклонений экспериментальных данных y_i и теоретических значений отклика может быть записана:

т.е. первое слагаемое представляет собой остаточную сумму квадратов отклонений в точках ПФЭ (или ДФЭ) и в «звездных» точках, а второе — сумму квадратов отклонений в центре плана. Эти слагаемые определяют общее рассеяние результатов наблюдений отклика относительно оценки регрессионной модели.

Перепишем последнее выражение в виде:

,

здесь — среднее значение отклика в центре плана.

Общее рассеяние связано со случайными погрешностями наблюдений, возникающими в результате влияния неконтролируемых факторов и систематическими погрешностями в случае неадекватности регрессионной модели и функции отклика. Третье слагаемое остаточной суммы связано с дисперсией, характеризующейся только случайной погрешностью опыта. Следовательно, с остаточной дисперсией (дисперсией адекватности) связана сумма:

Оценку остаточной дисперсии рассчитывают по формуле

, (39)

где y_i и — значения отклика экспериментальное и теоретическое, вычисленное в i-й точке факторного пространства, на основании модели (1). Степень свободы, связанная с числителем равна

. (40)

Если в каждой точке рототабельного центрального композиционного плана проводилось m параллельных опытов, то, проделав аналогичные выкладки, можно получить выражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией адекватности. В этом случае значение отклика y_i в выше приведенных выражениях заменяется средним значением отклика , вычисленным по результатам экспериментов в каждой i-й точке факторного пространства.

Дисперсия воспроизводимости s²_воспр вычисляется по формуле (9), если проводились параллельные опыты в каждой точке факторного пространства, при этом степень свободы будет равна

. (41)

Если параллельные опыты проводились только в центре плана, то дисперсия воспроизводимости вычисляется по формуле (34), а связанная с ней степень свободы равна γ₂=N₀-1.

Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным значением, определенным при заданном уровне значимости α и степенях свободы γ₁ и γ₂. Если F_расч< F_табл, то построенная модель является адекватной экспериментальным данным при уровне значимости α.