3.7. Сложное движение точки

3.7.1. Абсолютное, относительное и переносное движение точки

В ряде случаев возникает необходимость рассматривать движение точек одновременно по отношению к двум системам отсчета, одна из которых принимается за неподвижную, а вторая определенным обра-зом движется по отношению к первой. Движение точки в этом случае называется сложным.

Рис. 42.

Рассмотрим движение точки М по отношению к некоторой системе отсчета О₁х₁у₁z₁, которая в свою очередь сама движется по отношению к системе отсчета Охуz, принимаемую за неподвижную (рис. 42). Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета О₁х₁у₁z₁, называется относительным. Траектория, скорость и ускорение в этом движении называются относительной траекторией ( ), относительной скоростью ( ), относительным ускорением ( ).

Движение подвижной системы отсчета О₁х₁у₁z₁ по отношению к неподвижной системе отсчета Охуz, называется переносным. Траектория, скорость, ускорение точки М в подвижной системе отсчета О₁х₁у₁z₁ относительно неподвижной Охуz, называется переносной траекторией ( ), переносной скоростью ( ), переносным ускорением ( ).

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета, называется абсолютным. Траектория, скорость и ускорение в этом движении называется абсолютной траекторией ( ), абсолютной скоростью ( ), абсолютным ускорением ( ).

Абсолютное движение точки М является сложным и состоит из относительного и переносного движений.

3.7.2. Теорема сложения скоростей

Рассмотрим движение точки М. Пусть точка М совершает сложное движение, и за промежуток времени относительное перемещение по траектории АВ определится вектором (рис. 43). Траектория АВ движется с системой отчета О₁х₁у₁z₁, и за промежуток времени переходит в положение А^/В^/, система отсчета займет положение . Переносное перемещение составит . В результате сложного движения точка М перейдет в положение , абсолютное перемещение за время составит , очевидно, что

. (82)

Рис.43.

Равенство (82) делим на время и переходим к пределу, получим

, (83)

– абсолютная скорость точки М;

– переносная скорость точки М.

Так как при траектория АВ стремится к траектории А^/В^/ ( ), то

– относительная скорость точки М.

Таким образом, получим

(84)

Доказана теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скорости. Изобразим параллелограмм скоростей (рис. 44). Численное значение абсолютной скорости точи М по модулю составит (по теореме косинусов)

.

Рис.44.

3.7.3. Теорема о сложении ускорений

Определим зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорением точки. На основании равенства (84) при дифференцировании по времени можно записать

. (86)

Примем, что при относительном движении вектора относительной и переносной скорости получат изменения и соответственно; при переносном движении вектора относительной и переносной скорости получат изменения и

. (87)

Относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении, поэтому

. (88)

Переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном движении, поэтому

. (89)

В результате получаем

. (90)

Введем обозначение

. (91)

Величина , характеризующаяся изменением относительной скорости точки при переносном движении, и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением точки.

Равенство (86) примет вид

. (92)

Полученное уравнение выражает теорему Кориолиса о сложении ускорений: при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и кориолисова (поворотного).

Определим кориолисово ускорение при поступательном и вращательном движении подвижной системы О₁х₁у₁z₁ (рис. 45). Движение подвижной системы определяется поступательным движением системы отсчета (перемещение ) и вращением системы относительно оси (характерные скорости определяются угловой скоростью ). Вектор представляет собой переносную угловую скорость .

Рис.45.

Вектор получит приращение в переносном движении ; – скорость, с которой перемещается точка М при повороте вектора вокруг точки с угловой скоростью . В результате получаем

. (93)

Тогда переносная скорость равна геометрической сумме вектора скорости полюса точки О₁ и вектора переносной скорости точки при ее относительном движении

. (94)

За промежуток времени

. (95)

. (96)

Кориолисово ускорение составит

. (97)

Кориолисово ускорение равно удвоенному произведению векторов переносной угловой скорости (подвижной системы) и относительной скорости точки.

Численное значение кориолисова ускорения определяют

. (98)

где – угловая скорость подвижной системы;

– скорость точки в относительном движении;

– угол между векторами и .

Вектор кориолисова ускорения направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и в сторону действия угловой скорости в переносном движении (рис.46).

В случае поступательного переносного движения, угловая скорость подвижной системы равна нулю , тогда абсолютное ускорение составит

Рис.46.

. (99)

При поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.