3.3. Скорости и ускорения точек тела при вращательном движении

Рассмотрим движение точки М твердого тела D, находящуюся от оси вращения на расстоянии h (рис.17). При вращении тела, точка будет описывать траекторию окружности с радиусом h. Пусть за время тело повернется на угол , а точка из положения М перейдет в положение М₁, тогда путь, пройденный точкой М, составит часть дуги ММ₁ окружности радиусом h. Перемещение составит .

Рис.17.

Средняя скорость точки М за время

. (50)

Скорость точки в данный момент времени

. (51)

Вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории (окружности) из точки М в сторону вращения угловой скорости (рис.17). Вектор называют линейной (окружной) скоростью точки М.

Полное ускорение точки М в данный момент времени

. (52)

Касательное ускорение точки, согласно уравнению (27)

. (53)

Вектор касательного (вращательного) ускорения точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории движения (окружности) из точки М в сторону углового ускорения (рис.17).

Нормальное ускорение точки, согласно уравнению (28)

.

Радиус кривизны траектории , представляет собой расстояние от рассматриваемой точки М до оси вращения. В нашем случае радиус окружности равен h, поэтому

. (54)

Вектор нормального (центростремительного) ускорения направлен по нормали п к траектории, из точки М к центру кривизны траектории (рис.17).

Полное ускорение точки М в данный момент времени

. (55)

На виде сверху (см. рис.17) в плоскости вращения точки М увидим рис.18.

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой окружности определяется углом , который можно определить по формуле

. (56)

Рис.18.

В случае ускоренного движения точки М направления векторов и совпадают, если направления векторов противоположны, то движение точки замедленное (см. рис.18).

Вектор скорости точки М тела D, вращающегося вокруг неподвижной оси z, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки , относительно некоторой точки О (рис.19)

. (57)

Выражение (57) называют формулой Эйлера.

Определим производную уравнения (57) по времени для нахождения ускорения точки вращающегося тела.

, (58)

. (59)

Тогда касательное ускорение точки будет равно

. (60)

Рис.19.

Нормальное ускорение точки составит

. (61)

3.4. Плоскопараллельное движение твердого тела

Движение твердого тела называется плоскопараллельным или плоским, если все точки этого тела движутся в плоскостях параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Рис.20.

Рис.21.

Кривошипно-ползунный механизм (рис.20) находится в плоскопараллельном движении, где ведущее звено (кривошип, поз.1) ОА совершает вращательное движение относительно точки О, точка В (ползун, поз.3) – поступательное движение, звено АВ (шатун, поз.2) находится в сложном движении (состоящим из вращательного и поступательного). Изучение плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения плоской фигуры S, которая образуется в сечении плоскости П₁ параллельной неподвижной плоскости П (параллельно которой движется рассматриваемое тело, рис.21).

Д

Рис.21.

ля определения уравнения плоскопараллельного движения твердого тела, рассмотрим движение плоской фигуры S, в плоскости ху, положение фигуры будем определять с помощью произвольно выбранного отрезка АВ данной фигуры (рис.22). Положение фигуры будет однозначно определено, координатами точки А ­­– х_А, у_А, и углом , который образует отрезок АВ с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, называют полюсом.

Рис.22.

При движении плоской фигуры величины х_А, у_А,  будут изменяться с течением времени, для определения закона движения, надо знать зависимости

. (62)

Уравнения (62) определяют закон движения плоской фигуры и уравнение плоскопараллельного движения твердого тела.

Первые два из уравнений (62) определяют движение, которое совершает фигура при  = const, то есть при поступательном движении, в этом случае все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершает при и , в этом случае полюс неподвижен, и происходит вращение фигуры вокруг этого полюса. Следовательно, движение плоской фигуры можно разложить на поступательное, при котором все точки тела движутся так же, как полюс А, и вращательное движение вокруг этого полюса.

Кинематическими характеристиками плоского движения являются (линейные) скорость и ускорение полюса в поступательном движении ( , ), а также угловая скорость () и угловое ускорение () вращательного движения вокруг полюса. С учетом уравнений (62), получим

, , (63)

, . (64)

Поступательное движение зависит от выбора полюса, так как различные точки фигуры имеют разные координаты, а следовательно, и скорости и ускорения.

Вращательное движение от выбора полюса не зависит, угловая скорость и угловое ускорение вращения фигуры вокруг полюса – называется угловой скоростью и угловым ускорением фигуры.