Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда F_гл = 0, а М_гл ≠ 0), так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор F_гл и главный момент М_гл какой-либо плоской системы сил (рис.4а).  Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент М_гл так, чтобы силы пары F и F_Σ(рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору F_гл:

F = F_Σ = F_гл;     М_гл = М(F, F_Σ),

причем сила F приложена в точке О противоположно F_гл. Далее систему (F_гл, F), как взаимно уравновешенную, отбросим:

(F_гл,М_гл) = (F_гл,F,F_Σ) ≡ F_Σ.

В результате получим одну силу F_Σ, эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем F_Σ = F_гл.

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

F_Σ = √[(ΣX)² + (Y)²] = F_гл,

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

d = М_гл / F_гл.

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей F_Σ относительно центра приведения О равен моменту М_гл пары (F_Σ,F), т.е. главному моменту данной системы:

М_О(F_Σ) = М(F_Σ,F) = М_гл.

Так как М_гл = ΣМ_О(F_i), а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

М(F_Σ) = ΣМ(F_i).

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема: момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей F_Σ плоской системы n параллельных сил:

(F₁ + F₂ + F₃ +....+ F_n) ≡ F_Σ.

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМ_O(F_i) = М_O(F_Σ) = F_Σd,     где: d – плечо равнодействующей F_Σ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d:

d = ΣМ_O(F_i) / F_Σ = ΣМ_O(F_i) / ΣF_i, так как F_Σ = ΣF_i.

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d, следует учесть направление вектора F_Σ и знак ΣМ_O(F_i).

***