2. Критерий Фишера (Сравнение дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей). Описание

В качестве критериальной статистики для проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей используют отношение выборочных дисперсий, т. е. случайную величину:

где – исправленные выборочные дисперсии для выборок объемом и соответственно. В качестве нулевой гипотезы H₀ формулируется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий.

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы . Одной из функций, осуществляющей проверку данного критерия в R является var.test()

Описание функции

var.test(x,y,alternative = c("two.sided", "less","greater"), conf.level = 0.95, ...)

Параметры

x,y	вектор или объекты линейной модели (например, класса lm).
conf.level	доверительная вероятность
Alternative	альтернативная гипотеза. Может быть одна из "two.sided" (по умолчанию)-двустороняя критическая область, "greater" -правостороняя критическая область или "less"-левостороняя критическая область.

Пример

> x<-c(3.5, 3.6, 7.8, 9.6, 5.7, 8.9, 6.3)

> y<-c(1.0, 2.7, 8.9, 6.5, 8.9, 6.5,12.5,10.2, 1.2)

=7, =5.86; =9, =16.75

> var.test(x, y, alternative = c("two.sided"), conf.level = 0.95)

F test to compare two variances

data: x and y

F = 0.3498, num df = 6, denom df = 8, p-value = 0.2174

alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1

95 percent confidence interval:

0.07519108 1.95855792

Результат теста:

F = 0.3498 ( значение F статистики), число степеней свободы для х - 6, для y - 8

p-value = 0.2174, т.е. уровень ошибки, при котором можно отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий, равен 21.74%

95% доверительный интервал: (0.075, 1.959) - полученное нами значение F-статистики в него попадает, следовательно гипотеза о равенстве дисперсий принимается на 5% уровне значимости.

3. Критерий Стьюдента (Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы). Описание

Если предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то для решения этой задачи можно применить критерий Стьюдента. Т.е. нужно, пользуясь критерием Фишера, предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. В случае независимых выборок в качестве критериальной статистики для проверки гипотезы принимают случайную величину:

,

где - выборочные средние, – выборочные дисперсии, – объемы выборки и - число степеней свободы для распределения критериальной статистики (если дисперсии не равны, то критерий остается применимым, но требует коррекции приводенной формулы и числа степеней свободы – необходимость такой коррекции указывается при вызове функции). Если выборки зависимые (парная выборка), то проверяется гипотеза о равенстве матожидания нулю для новой случайной величины , также имеющей нормальное распределение. В этом случае используется критериальная статистика Стьюдента

Одной из функций, осуществляющей проверку данного критерия в R является t.test()

Описание функции

t.test (x, y = NULL, alternative = c ("two.sided", "less", "greater"), var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, paired = FALSE,...)

Параметры

x	Числовой вектор значений.
y	Числовой вектор значений (используется для парного теста, см. ниже).
paired	Признак парного теста: проверяется гипотеза для x-y, поэтому вектор y должен присутствовать и соответствовать по длине вектору x.
alternative	Символьная строка, определяющая альтернативную гипотезу, должна быть одна из "two.sided" (по умолчанию)-двустороняя критическая область, "greater" -правостороняя критическая область или "less"-левостороняя критическая область.
var.equal	Логическая переменная, указывающая на равенство дисперсий
conf.level	Доверительная вероятность.