Примечание

По умолчанию var.equal=FALSE (дисперсии предполагаются неравными), в этом случае для вычислений используется оценка Велча (Welch).

Пример (используем те же выборки, что и для сравнения дисперсий)

> x<-c(3.5, 3.6, 7.8, 9.6, 5.7, 8.9, 6.3)

> y<-c(1.0, 2.7, 8.9, 6.5, 8.9, 6.5,12.5,10.2, 1.2)

> t.test(x,y,alternative=c("two.sided"),var.equal=TRUE,conf.level=0.95)

Two Sample t-test

data: x and y

t = -0.0018, df = 14, p-value = 0.9986

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-3.760075 3.753726

sample estimates:

mean of x mean of y

6.485714 6.488889

Значения

t = -0.0018 (значение критериальной статистики), число степеней свободы равно 14.

p-value = 0.9986, т.е. чтобы отвергнуть гипотезу, нужно допустить 99.86% ошибки.

95% доверительный интервал (-3.760075, 3.753726). Поскольку наше значение в него попадает, то нулевая гипотеза принимается на 5% уровне значимости.

Если равенство дисперсий не проверялось, или гипотеза о равенстве не принимается, то вызов критерия выглядит так:

> t.test(x,y,alternative=c("two.sided"),var.equal=FALSE, conf.level=0.95)

Welch Two Sample t-test

data: x and y

t = -0.0019, df = 13.242, p-value = 0.9985

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-3.545004 3.538655

sample estimates:

mean of x mean of y

6.485714 6.488889

Число степеней свободы теперь 13.242 вместо 14, и границы доверительного интервала несколько изменились.

Приведем пример для проверки нулевой гипотезы о равенстве матожиданий для парной выборки (выборки должны быть одинаковой длина):

> x<-c(3.5, 3.6, 7.8, 9.6, 5.7, 8.9, 6.3, 8.3, 4.5)

> y<-c(1.0, 2.7, 8.9, 6.5, 8.9, 6.5,12.5,10.2, 1.2)

> t.test(x,y,alternative=c("two.sided"),var.equal=TRUE, paired=TRUE)

Paired t-test

data: x and y

t = -0.0202, df = 8, p-value = 0.9843

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-2.554391 2.509946

sample estimates:

mean of the differences

-0.02222222

Значения:

t = -0.0202 (значение критериальной статистики), число степеней свободы равно 8.

p-value = 0.9943, т.е. чтобы отвергнуть гипотезу, нужно допустить 99.86% ошибки.

95% доверительный интервал (-2.554391, 2.509946). Поскольку наше значение в него попадает, то нулевая гипотеза принимается на 5% уровне значимости.

4. Критерии Бартлетта и Кохрана (Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам). Описание

Критерий Барлетта используется для проверки гипотезу об однородности (равенстве) нескольких дисперсий, полученных по выборкам разного объема. Для этого рассчитывают среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы:

,

где число степеней свободы для i-й выборки объема , - выборочная дисперсия дисперсия i-й выборки, - общее число степеней свободы, и - число выборок.

В качестве критериальной статистики для проверки гипотезы об однородности дисперсий используют критерий Бартлетта:

,

имеющая распределение , где

,

Одной из функций, осуществляющей проверку данного критерия в R является bartlett.test()