6. Указания по оформлению отчета

В отчете приводится график оптимального переходного процесса..

7. Контрольные вопросы

1. Как ввести передаточную функцию САУ?

2. Как настроить блок NCD?

3. Как провести моделирование оптимальной САУ?

Лабораторная работа №3 исследование автоколебаний нелинейных систем

1. Цель и задачи работы

Цель работы: экспериментальное исследование автоколебательных процессов в нелинейной системе, влияние вида нелинейности на качество нелинейной системы.

2. Краткие теоретические сведения

Нелинейные системы - это системы автоматического управления, движение которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейность чаще всего обусловлена характеристиками входящих в систему элементов, которые по своей физической природе являются нелинейными. Например, релейные элементы, в которых выходная величина меняется скачкообразно при непрерывном изменении входной величины; ограничение напряжения у всех электронных усилителей, определяемое напряжением питания; зона нечувствительности двигателей постоянного тока, определяемая моментом трения в подшипниках и т.д.

Теоретический анализ нелинейных систем является более сложным из-за отсутствия единых математических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Управление оптико-электронными системами распо­лагает несколькими методами анализа и синтеза нелинейных систем, как точными, так и приближенными. Из точных методов наибольшее применение находит метод фазового пространства для систем первого, второго, а иногда, и третьего порядка, особенно метод фазовой плоскости для систем второго порядка. Из приближенных методов наиболее эффективным инженерным методом является метод гармонической линеаризации.

Определение параметров автоколебаний нелинейных систем

Рассмотрим систему, структурная схема которой показана на рис. Пусть ЛЧ имеет уравнение вида:

N(p)×x(t) = - M(p) ×z(t)

где N(р), М(р)-некоторые полиномы от p; p = d/dt.

Пусть также задано уравнение НЭ:

z = F(x),

Тогда уравнение замкну той системы:

N (p) x + M(p) × F(x) = 0 (1)

Для решения нелинейного уравнения (1) используем метод гармонической линеаризации.

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования нелинейных систем автоматического управления. Условием его применения является гармонический характер колебаний, возникаю­щих в нелинейной системе, что позволяет решать задачу только в первом приближении. Однако, как правило, линейная часть системы представляет собой низкочастотный фильтр, поэтому ошибка, допускаемая при расчете этим методом, тем меньше, чем больше фильтрующее действие ли­нейной части системы.

Параметры периодических колебаний (амплитуда и частота), возникающих в системе, зависят от параметров нелинейного элемента и параметров линейной части нелинейной системы. Эти периодические колебания называются автоколебаниями.

Запишем выражения для первой гармоники входного и выходного сигналов НЭ

x (t) = a sin wt ( 2 )

z₁ (t) = a [g (a) sin wt + g _l (a) cos wt]

Исключим из этих выражений тригонометрические функции, для чего продифференцируем х

dx/dt = px = aw cos wt

и подставим во второе уравнение значения a sin wt = x и

a cos wt = px/w, в результате получим

z = F(x) = z₁ = g(a) x + g_l (a) / w× px ( 3 )

Уравнение (3) нелинейное, поскольку g(a) и g_l (a) являются нелинейными функциями амплитуды а, но для каждого установившегося значения автоколебаний g(a) и g_l (a) рассматриваются как постоянные ве­личины. Поэтому (3) в окрестности искомых автоколебаний можно считать линеаризованным уравнением. Подставляя (1) в (3) получаем гармоническую линеаризацию уравнения системы

[N(p) + M(p) (g + g _l /w × p)]x = 0 ( 4)

Частоту w и амплитуду а автоколебаний находим из условия существования периодического решения уравнения (4),т.е. jw-корень характеристического уравнения

N(x) + M(x) (g + g _l /w × x) = 0

Но если =jw - корень этого уравнения, то он обращает его в нуль,

N(jw) + M(jw) (g + jg_l) = 0 ( 5 )

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части (5), получаем сис­тему уравнений

Re N(jw) + gReM(jw) – g _l ImM(jw) = 0

ImN(jw) + gImM(jw) + g _l ReM(jw) = 0 ( 6)

р ешая которую относительно а и w, находим амплитуду а=А и час­тоту w= автоколебаний.

Рис. 1

z = WH (a) x

-x = Wл(jw) z

получаем уравнение свободных колебаний в системе

l+Wл (jw)× Wн (a) = 0 ( 7)

Подставим ( ) в виде уравнения Гольдфарба

Wл (jw) = -Gн (a) ( 8)

где

Gн (a) = l/Wн (a)

Уравнение (8) решается графически. Для этого на комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) линейной части Wл(jw) при изменении w от 0 до . На той же плоскости изобра­жается обратная АФХ нелинейного элемента -l/Wн (a) при изменении а от 0 до

Точки пересечения характеристик Wл(jw) и -l/Wн(a) определяют амплитуду и частоту возможных автоколебаний в системе. Если они не пересекаются, то это означает, что нет действительных значений а и w, удовлетворяющих уравнению (8) и, следовательно, в системе автоколебания невозможны.

Критерий устойчивости автоколебаний Гольдфарба формулируется следующим образом. Если линейная часть разомкнутой системы устойчива, то точка пересечения характеристик Wл(jw) и -1/Wн(а) соответствует устойчивым автоколебаниям, когда в этой точке характеристика (-l)/Wн(a) выходит из контура Wл(jw). Если же в точке пересечения характеристика (-1)/Wн (а) входит в контур Wл(jw), тo такая точка соответствует неустойчивым автоколебаниям.

Сформулированный критерий Гольдфарба является необходимым, но недостаточным. Однако в большинстве практический задач критерий оказывается достаточным, причем тем вероятнее, чем больше фильтрующее действие линейной части системы.

Расчет нелинейной системы методом гармонической линеаризации

Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой приве­дена на рис.1. Целью расчета является определение возможности существования автоколебаний и их параметров -амплитуды и частоты. Поскольку линейная часть системы представляет собой низкочастотный фильтр, то правомочным является применение метода гармонической линеаризации.

Для данного типа нелинейности выражение для гармонического коэффициента передачи дается формулой. Обратный гармонический коэффи­циент передачи НЭ

(9)

АФЧ линейной части системы

(10)

АФХ нелинейного элемента и линейной части определяются по выражениям (9) и (10).

В системе возникают автоколебания при любых параметрах НЭ и линейной части. Эти автоколебания устойчивы, т.к. в точке пересечения N АФЧ НЭ выходит из контура W_л(jw).

Рассчитаем параметры автоколебаний, соответствующих точке пере­сечения N. Запишем уравнение Годьдфарба

W_л(jw) = - 1/ W_н(a) (11а)

и приравняем отдельно действительные и мнимые части.

(11б)

Уравнение (116) кубическое относительно w и его решение достаточно громоздко. Поэтому уравнения (11а) и (11б) решаются во время занятия на ЭВМ. Приближенные выражения для параметров предельного цикла при

имеют вид

где

D = 4BT₁k_о / pС