III семестр
Вопросы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения первого порядка в полных дифференциалах.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по корням его характеристического уравнения
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов.
Общие сведения о числовых рядах. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
Необходимые признаки сходимости числовых рядов.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признак сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши, признак Лейбница).
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Область и радиус сходимости степенного ряда.
Общие сведения о тригонометрических рядах и периодических функциях.
Ряд Фурье. Достаточное условие разложимости функций в ряд Фурье.
Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда для функций с периодом 2π.
Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l.
Разложение функций в ряд Фурье четным и нечетным образом.
Модуль 7
Дифференциальные уравнения
Задачи для решения
Задание 1
Проинтегрировать дифференциальные уравнения. Найти частные решения, удовлетворяющие соответствующим начальным условиям.
Варианты
1. a)
;
б)
;
в) у' + ycosx = cosx, y(0) = -2;
г)
2. а) y' ctgx+ y = 2, y(0) = 1;
б) 2xy' (x2 + y2) = y(y2 + 2x2);
в) xy' - x2sinx = y;
г) (2y – x + 3y2)dy + (3x2 – 2x - y)dx = 0;
3. а)
dx+
2хуdу= 0, y(4)
= 1;
б)
в)
г) 3 x2 (1 + lny)dx
– (2y –
)dy
= 0;
4. а) y'
tgx =
ylny,
y(
)
= е;
б)
в)
г) (2y - 3)dx + (2x + 3y2)dy = 0;
5. а) (xy +х )dx - (x2+1)dy = 0, y(1) = 0;
б) xy' cos(y/x) = y cos(y/x) – x;
в) y' cosx + ysinx = 1;
г) (2xy + 1)dx + (x2-y2)dy = 0;
6. а)
б)
в) y' + y tgx= 2x cosx;
г) 3x2 ey dx + (x3ey + 1)dy = 0;
7. а) xy' – y2 = 1; y(1) = 1;
б)
в) y' +
2xy =
;
г) e-ydx + (2y – xe-y)dy = 0;
8. а) 3ex sinydx – (ex + 1) cosydy = 0, y(0) = π/2;
б)
в)
г) (12x + 5y – 9) dx + (5x + 2y – 4) dy = 0;
9. а) xy y' = 1 – x2 , y(1) = 2;
б)
в)
г) (x + lny)dx
+ (1 +
+
siny)dy
= 0;
10. а) (xy2
+ x) dx + (x2y - y)dy
= 0,
б) x3у' = у(х2 + у2);
в)
г)
.
Задание 2
Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Варианты
1. а) у'' + 7у' + 10 = 0;
б) у'' + 12у' + 36у = 0;
в) 6у'' + 5у' + 2у = 0;
г) у'' + 4у' = 9х + 5;
д) у'' + 8у' + 15у = 2cos3x;
е) у'' + 9у = 5е2х.
2. а) у'' + 5у' + 4у = 0;
б) у'' + 10у' + 25у = 0;
в) 2у'' – 5у' + 6у = 0;
г) у'' + 9у' = 2х + 1;
д) у'' + у = 3е6х;
е) у'' + 2у' – 3у = 4sin5x.
3. а) у'' + 9у' + 18у = 0;
б) у'' – 2у' + у = 0;
в) 3у'' – 5у' + 3у = 0;
г) у'' + 10у' = 6х – 2;
д) у'' + 4у' = 2е5х;
е) у'' + 3у' – 4у = 8 sin2x.
4. а) у'' + 8у' + 7у = 0;
б) у'' – 8у' + 16у = 0;
в) 3у'' + 5у' + 3у = 0;
г) у'' + 4у' = 3х + 5;
д) у'' + 16у' = 3е-4х;
е) у'' + 4у' – 5у = 4cos2x.
5. а) у'' + 10у' + 21у = 0;
б) у'' + 6у' + 9у = 0;
в) 2у'' – 5у' + 4у = 0;
г) у'' + 24у' = 3х – 2;
д) у'' + 25у = 6е7х;
е) у'' – у' – 2у = 5sin6x.
6. а) у'' + 6у' + 8у = 0;
б) у'' + 4у' + 4у = 0;
в) 5у'' – 4у' + у = 0;
г) у'' + 25у' = 9х – 2;
д) у'' + 36у' = 5е4х;
е) у'' + 2у' – 8у = 4cos3x.
7. а) у'' + 8у' + 15у = 0;
б) 3у'' + 6у' + 3у = 0;
в) 3у'' + 4у' + 2у = 0;
г) у'' + 36у' = 8х – 3;
д) у'' + 49у = 7е-3х;
е) у'' + 3у' – 10у = 5cos3x – sin3x.
8. а) у'' +у' – 6у = 0;
б) 9у'' – 6у' + у = 0;
в) у'' + 4у' + 5у = 0;
г) у'' + 49у' = 5х + 4;
д) у'' + 64у = 8е-2х;
е) у'' – у' – 6у = 4sin2x + 3cos2x.
9. а) у'' + 5у' + 6у = 0;
б) у'' 6у' + 9у = 0;
в) у'' + 4у' + 8у = 0;
г) у'' + 8у' = 6х + 2;
д) у'' + 81у = 5е3х ;
е) у'' – 2у' – 3у = 5sin3x.
10. а) у'' + 7у' + 12у = 0;
б) у'' + 8у' + 16у = 0;
в) у'' – 4у' + 20у = 0;
г) у'' +16у' = 2х – 1;
д) у'' + 100у = 4е2х;
е) у'' + у' – 12у = 3cos2x.
Задание 3
Решить систему дифференциальных уравнений.