Решение типовых задач

Задание 1

У рабочего 20 однотипных деталей, из которых окрашено в красный цвет 9 деталей, в зеленый цвет 7 деталей и в синий 4 детали. Рабочий наудачу берет 6 деталей. Найти вероятность того, что среди выбранных деталей окажется 3 красных, 2 зеленых и 1 синяя.

Задание 2

В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в твёрдом переплете. Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в твёрдом переплете.

Задание 3

В пирамиде установлены 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0.8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Задание 4

По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.6. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

Задание 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка 0.3, для второго – 0.4.

Для случайного числа попаданий в цель составить ряд и функцию распределения. Построить их графики. Найти M[x], D[x], σ[x].

Задание 6

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

Требуется:

1) определить коэффициент с;

2) найти функцию распределения F(х);

3) построить графики f(х) и F(х);

4) найти вероятность того, что случайная величина Х принимает

значения из интервала (1; 2).

Задание 7

Случайная величина подчинена нормальному закону с параметрами т = 3 и σ = 2. Составить плотность распределения этой случайной величины f(х) и найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (- 1; 4).

Сведения из теории

Классификация событий

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в определенных условиях. Эти условия называются опытом или испытанием.

Два события называются взаимно противоположными, если наступление одного из них приводит к ненаступлению другого.

Неслучайное событие называется достоверным, если оно в результате испытания не может не наступить, и невозможным, если оно в результате испытания не может наступить.

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого, и совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого в одном и том же испытании.

Два события называют независимыми, если наступление одного из них никак не отражается на возможности наступления другого, и зависимыми, если наступление одного из них определенным образом отражается на возможности наступления другого.

Сумма и произведение событий

Суммой двух событий и называется событие А, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Классическое определение вероятности

Вероятностью р события А называется отношение числа m количества исходов, благоприятствующих появлению события А, к числу всех возможных исходов п, образующих полную группу равновозможных несовместных событий:

Вероятности суммы и произведения событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А·В)=Р(А) Р(В).

Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать Р(А/В) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии наступления первого события:

Р(А·В)=Р(А) Р(В/А).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В).

Вероятность суммы двух противоположных событий равна единице.

Формула полной вероятности

Если событие А может наступить лишь при условии наступления одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, то полная вероятность этого события равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на условные вероятности этого события при условии наступления данной гипотезы:

, где

Формула Байеса (формула вероятности гипотез)

Если событие , которое может наступить лишь при условии наступления одной из несовместных гипотез , наступило, то вероятность его наступления вместе с данной гипотезой равна:

, i=1, 2,…, п.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступило к раз, равна:

.

Частные случаи формулы Бернулли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Вероятность наступления события хотя бы один раз в п

независимых испытаниях:

.

Дискретные случайные величины. Закон распределения

Переменная величина X, принимающая числовые значения с вероятностью , называется дискретной случайной величиной.

Функциональная зависимость вероятности от называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины X. Закон распределения задается в виде таблицы.

Возможные значения случайной величины X			…		…
Вероятности значений случайной величины X			…		…

То, что случайная величина X в результате опыта примет одно из значений , есть событие достоверное, и потому должно выполняться условие . Последовательность значений , может быть как конечная, так и бесконечная.

Функция распределения, её свойства

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее переменной величины х, есть функция от этой переменной величины, которая называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) вероятностей.

Обозначается F(x) = Р(Х < х).

Свойства функции распределения:

1) Область изменения функции распределения: 0< F(x)<1;

2) Вероятность попадания случайной величины в интервал

(α; β) равна приращению функции распределения на этом

интервале: P(α<x<β) = F(β) - F(α);

3) Функция распределения неубывающая: F(β) > F(α),

если β > α;

4) Предельные значения функции распределения:

F(- ∞) = 0; F(∞) = 1.

График функции распределения дискретной случайной величины имеет вид:

График функции распределения дискретной случайной величины имеет разрывы с конечным скачком в точках, где случайная величина принимает свои значения. Величина скачка в точке равна вероятности .

Непрерывные случайные величины

Если некоторая случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F(x), то такая случайная величина называется непрерывной.

Плотность распределения, её свойства

Наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины.

Плотностью распределения f(х) называется производная функции распределения F(x): f(x) = F'(x).

Смысл f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

График плотности распределения называют кривой распределения.

Свойства плотности распределения:

1) плотность распределения – величина неотрицательная:

f(x) ≥ 0;

2) функция распределения выражается через плотность

распределения формулой: ;

3) площадь между кривой распределения и осью абсцисс

равна единице: .

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение – числовые характеристики случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число, равное сумме произведений значений этих величин на их вероятности:

.

Математическое ожидание указывает на числовой оси точку, являющуюся центром рассеивания значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. математическое ожидание постоянной равно этой

постоянной: М(С) = С;

2) математическое ожидание суммы случайных величин равно

сумме их математических ожиданий: М(Х + Y) = М(Х) + М(Y);

2. математическое ожидание произведения независимых

случайных величин равно произведению их математических

ожиданий: М(Х Y) = М(Х)·М(Y);

4) М(С·Х) = С· М(Х), если С = const .

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = M(X - M(X))².

Дисперсия вычисляется по одной из формул:

,

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется значение корня квадратного из дисперсии:

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют степень рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1. дисперсия случайной величины положительна: D(X) > 0;

2. дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0;

1. дисперсия суммы независимых случайных величин равна

сумме их дисперсий D(X + Y) = D(X)+D(Y);

1. D(C·X) = C²·D(X), если С = const.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется по формуле:

,

где f(x) – плотность распределения.

Если случайная величина х распределена на конечном интервале, то интеграл в правой части формулы имеет конечные пределы.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по одной из формул

.

Все свойства числовых характеристик непрерывных случайных величин такие же, как для дискретных.