Решение типовых задач

Задание 1

Пользуясь преобразованием Лапласа и основными его свойствами, найти изображения функции

.

Задание 2

По известному изображению F(p) найти оригинал .

.

Задание 3

Методами операционного исчисления найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

.

Задание 4

Решить систему дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.

Начальные условия: .

Сведения из теории

Функцией – оригиналом называют функцию действительного аргумента , удовлетворяющую условиям:

1. для всех отрицательных значений аргумента функция тождественно равна нулю, т.е.

2. функция возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные ;

3. на любом конечном отрезке положительной полуоси эта функция удовлетворяет условиям Дирихле:

- ограничена;

- непрерывна или имеет конечное число точек разрыва

первого рода;

- имеет конечное число экстремумов.

Изображением функции по Лапласу (преобразованием по Лапласу ) называют функцию комплексной переменной определяемую соотношением .

Интеграл в правой части называется интегралом Лапласа.

Функция определяется в полуплоскости и является в этой области аналитической функцией.

Функция комплексной переменной является изображением по Лапласу функции действительного аргумента обозначатся

или .

Свойства преобразования Лапласа

Линейность

Если , то .

Т.е. сумма нескольких функций, умноженных на постоянные, равна сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные.

Подобие

Если то .

Т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на тоже число.

Запаздывание (оригинала)

Если и то .

Т.е. запаздывание оригинала на время соответствует умножение изображения на .

Смещение (изображения)

Если , то .

Т.е. умножение оригинала на множитель приводит к изменению аргумента изображения на величину .

Дифференцирование оригинала

Если функция раз непрерывно дифференцируемая на промежутке функция и является оригиналом, то из соответствия следует .

Дифференцирование изображения

Если .

Свертка оригиналов (умножение изображений).

Если , -показатели роста функции .

Т.е. свертывание функций в пространстве оригиналов соответствует умножению функций в пространстве изображений.

Таблица оригиналов и изображений

№
1.	1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Пример выполнения задания 1

Пользуясь преобразованием Лапласа и основными свойствами преобразования Лапласа, найдём изображение функции

.

Решение

Используя свойства линейности, подобия, теорему дифференцирования изображения, найдем изображения функций:

;

.

Воспользуемся формулой таблицы оригиналов и изображений:

, , .

Получаем: .

Пример выполнения задания 2

По известному изображению

найдём функцию-оригинал.

Решение.

Для нахождения оригинала представим его изображение в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами.

Разложение имеет вид:

.

Неопределенные коэффициенты найдем из тождества

Приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях и .

Получим систему:

Решая данную систему, получим .

примет вид:

.

Преобразуем первое слагаемое, выделив в знаменателе полный квадрат суммы

Из таблицы преобразований Лапласа, применяя свойство линейности, имеем

Пример выполнения задания 3

Решим операторным методом линейное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях.

.

Решение.

Найдем операторное уравнение. Применим преобразование Лапласа к обеим частям заданного уравнения.

По теореме о дифференцировании имеем: если , то

,

,

.

После подстановки полученных изображений в исходное уравнение, получим операторное уравнение .

После преобразований: ,

.

Разрешая это операторное уравнение относительно , получим: .

Это и есть изображение искомого решения .

Для нахождения оригинала представим его изображение в виде дробей и вводя неопределенные коэффициенты, получаем:

.

Неопределенные коэффициенты найдем из тождества

.

Пусть , тогда .

Приравняем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях и свободных членах:

Решая данную систему, получим .

примет вид: .

Применив соответствующие формулы таблицы оригиналов и изображений, получим , или - это решение заданного уравнения.

Пример выполнения задания 4

Решим систему дифференциальных уравнений

Решение.

Пусть составляют искомое решение и пусть

Применяя прямое преобразование Лапласа, получим операторные уравнения, системы дифференциальных уравнений.

,

,

, .

Система дифференциальных уравнений обращается в систему операторных уравнений:

или

Решаем данную систему по формулам Крамера относительно изображений :

, .

,

,

.

,

.

,

Переходя к оригиналам, получим искомое решение:

Модуль 10