Модуль 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра Задачи для решения.

Задание 1

Исследовать систему по теореме Кронекера-Капелли, если система совместна и определена, то решить по формулам Крамера, матричным способом и способом Гаусса.

Варианты

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание 2

Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄:

, , , .

Найти:

а) длину ребра [А₁А ₂];

б) угол между ребрами [А₁А₂] и [А₁ А₄];

в) проекцию вектора на ;

г) площадь грани А₁ А₂ А₃ ;

д) объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

Варианты .

1. А₁(3,1,4), А₂ (-1,6,1), А₃ (-1,1,6), А₄(0,4,-1);

2. А₁ (3,3,9), А₂ (6,9,1), А₃(1,7,3), А₄(8,5,8);

3. А₁(3,5,4), А₂ (5,8,3), А₃ (1,9,9), А₄(6,4,8);

4. А₁ (2,4,3), А₂ (7,6,3), А₃ (4,9,3), А₄(3,6,7);

5. А₁ (9,5,5), А₂ (-3,7,1), А₃(5,7,8), А₄(6,9,12);

6. А₁ (0,7,1), А₂ (4,1,5), А₃ (4,6,3), А₄(3,9,8);

7. А₁ (5,5,4), А₂ (3,8,4), А₃(3,5,10), А₄(5,8,2);

8. А₁(6,1,1), А₂(4,6,6), А₃(4,2,0), А₄(1,2,6);

9. А₁(7,5,3), А₂ (9,4,4), А₃ (4,5,7), А₄(7,9,6);

10. А₁(6,6,2), А₂(5,4,7), А₃(2,4,7), А₄(7,3,0).

Решение типовых задач Задание 1

Исследовать систему по теореме Кронекера-Капелли, если система совместна и определена, то решить по формулам Крамера, матричным способом и способом Гаусса.

Если система совместна, но не определена, найти общее и одно частное решение.

а) б)

в)

Задание 2

Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

, , , .

Найти:

а) длину ребра [А₁А₂];

б) угол между ребрами [А₁А₂] и [А₁ А₄];

в) проекцию вектора на ;

г) площадь грани А₁ А₂ А₃ ;

д) объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

А₁ (3;2-3), А₂ (5;1;-1), А₃ (-1;2; -1), А₄ (1;-2;1).

Пример выполнения задания 1

а) Дана система линейных алгебраических уравнений:

Найдём ранг матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестных. Путём элементарных преобразований приведём эту матрицу к ступенчатому виду.

~ ~ .

Ранг матрицы системы r(A)=3 .

Найдём ранг расширенной матрицы .

~ ~ .

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А и числу неизвестных, следовательно, система совместна и обладает единственным решением. Найдём это решение по формулам Крамера, которые имеют вид:

, , .

Находим основной определитель системы:

.

Определитель системы не равен нулю, это так же означает, что система имеет единственное решение.

Находим определители неизвестных.

,

,

.

Подставив найденные значения определителей в формулы

Крамера, получим решение системы.

, , .

Ответ: х =1, у =2, z =0.

Решим данную систему матричным способом.

Эта система уравнений может быть записана в виде следующего матричного уравнения: AХ=B.

Матричное решение имеет вид: Х =А^-1В.

Найдём матрицу А^-1 обратную матрице системы: .

Матрица системы имеет вид:

.

Её определитель det A уже найден: det A = D = - 25.

Составим транспонированную матрицу:

.

Составляем присоединенную (союзную) матрицу С, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А^Т, для чего вычисляем алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:

.

Находим решение системы в матричной форме:

Х = = ,

.

Ответ: х = 1, у = 2, z = 0.

Решим данную систему методом Гаусса.

Исключим х из второго и третьего уравнения. Для этого из второго уравнения вычтем удвоенное первое, из третьего уравнения вычтем первое.

Исключим из третьего уравнения у. Для этого вычтем из него второе уравнение.

Из третьего уравнения находим z. Подставив его значение во второе уравнение, найдём у. Подставив значения х и у в первое уравнение, найдём х.

Ответ: х = 1, у = 2, z = 0.

б) Дана система линейных алгебраических уравнений:

Найдём ранг матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестных.

~ ~ ~

Её ранг r (A) = 2.

Найдём ранг расширенной матрицы .

~ ~ ~ .

.

.

Ответ: Система не совместна.

в) Дана система линейных алгебраических уравнений:

Найдём ранг матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестных.

~ ~ .

Её ранг r (A) = 2.

Найдём ранг расширенной матрицы системы.

~ ~ .

Система совместна, но не определена. Найдём решение этой системы. Восстановим систему по последней матрице.

.

Ответ: .

Пример выполнения задания 2

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄:

А₁ (3;2;-3), А₂ (5;1;-1), А₃ (-1;2; -1), А₄ (1;-2;1).

Найдём координаты , ,

векторов ; ; .

_.

Получим:

,

,

.

а) Длина ребра [А₁ А₂] пирамиды равна длине вектора . Длина вектора определяется по формуле:

, следовательно:

.

б) Угол между рёбрами [А₁А₂] и [А₁ А₃] пирамиды равен углу между векторами и . Косинус угла между векторами определяется по формуле:

,

следовательно,

.

в) Проекция вектора на направление вектора определяется

по формуле: , следовательно,

,

.

г) Определим площадь грани (А₁А₂А₃) по формуле для вычисления площади треугольника с помощью модуля векторного произведения векторов и :

, где .

.

.

(ед²).

д) Объем пирамиды, построенной на векторах , , определяем с помощью смешанного произведения векторов по формуле:

.

V = .

(ед³).