Условия равновесия пространственной системы произвольных сил

Однородная прямоугольная плита весом Р = 3 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (С2.0–С2.9).

Рис. С2.0	Рис. С2.1

На плиту действуют две силы и пара сил, лежащая в плоскости плиты, с моментом М = 5 кНм. Величины сил, их направления и точки приложения указаны в табл. C2; при этом силы и лежат в плоскостях,

Рис. С2.2	Рис. С2.3
Рис. С2.4	Рис. С2.5
Рис. С2.6	Рис. С2.7

параллельных плоскости xy, сила – в плоскости, параллельной xz, и сила – в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах соответствующих сторон плиты. Определить реакции связей в точках А, В, С. При расчетах принять l = 0,8 м.

Рис. С2.8	Рис. С2.9

Т а б л и ц а С2

Номер условия	Силы
	F1 = 4 кН		F2 = 6 кН		F3 = 8 кН		F4 = 10 кН
	y 1 x		z 2 x		z y 3		y 4 x
	Точка прило-жения	1, град	Точка прило-жения	2, град	Точка прило-жения	3, град	Точка прило-жения	4, град
0	D	60	–	–	E	0	–	–
1	H	90	D	30	–	–	–	–
2	–	–	E	60	–	–	D	90
3	–	–	–	–	E	30	H	0
4	E	0	–	–	H	60	–	–
5	–	–	D	60	H	0	–	–
6	–	–	H	30	–	–	D	90
7	E	30	H	90	–	–	–	–
8	–	–	–	–	D	0	E	60
9	–	–	E	90	D	30	–	–

Указания. При решении задачи С2 следует учесть, что реакция сферического шарнира имеет три составляющие, а реакции цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям, тогда по теореме Вариньона m_х( ) = m_x( ) + m_x( ) и т.д.

Пример решения задачи С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена в точке А сферическим шарниром, в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и невесомым стержнем Д , лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости yz), сила (параллельная оси x) и пара сил с моментом М (лежащим в плоскости плиты).

Рис. C2

Д а н о: P = 5 кH; M = 3 кHм; F₁ = 6 кH; F₂ = 7,5 кH;  = 30; AB = 1 м; BC = 2 м; ВE = АЕ; АK = КД.

О п р е д е л и т ь: реакции опор А, В и стержня Д .

Р е ш е н и е

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы Р, F₁, F₂ и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие цилиндрического шарнира (подшипника) – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он сжат.

Для действующей на плиту пространственной системы произвольно расположенных сил составляем уравнения равновесия:

F_kX = 0, X_A + X_B – F₂ = 0;

F_kY = 0, Y_A + Y_B – F₁ cos  + S_Д sin 30 = 0;

F_kZ = 0, –Z_A + S_Д cos 30 + F₁ sin  – P = 0;

m_X( ) = 0, –S_Д sin 30 AB + F₁ cos  AB – Y_A AB = 0;

m_Y( ) = 0, –S_Д cos 30BC – F₁ sin + X_AAB –

– F₂ + M = 0;

m_Z( ) = 0, S_Д sin 30 BC – F₁ cos  = 0.

Для определения момента силы относительно оси Y разложим вектор на составляющие , параллельные осям Y и Z, = F₁ cos , = F₁ sin  и применим теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдём, чему равны искомые реакции связей.

О т в е т: X_A = 7,8 кH; Y_A = 2,6 кH; Z_A = 2,5 кH; Y_B = 0 кH; X_B = –0,3 кH; S_Д = 5,2 кH.

Знак «минус» указывает на то, что сила направлена противоположно силе, показанной на рис.С2.

Для проверки правильности решения задачи можно составить дополнительное уравнение суммы моментов относительно любой другой оси (например, для оси Y'), которое должно быть равно нулю.