Кинематика
З а д а ч а К1
Кинематика точки
Движение точки в плоскости xy задано уравнениями x = f1(t), y = f2(t), где x и y – в метрах, t – в секундах (табл. К1, К1а). Найти и изобразить траекторию точки (линию, которую точка описывает при своем движении, считая, что движение начинается в момент времени t = 0). Определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t = 1 с и радиус кривизны в соответствующей точке в этот же момент времени.
Т а б л и ц а К1
Предпоследняя цифра шифра |
Уравнение движения точки x = f1(t) |
Примечания |
0 |
4 cos (πt/6) |
y = f2(t) для вариантов от 00 до 29 (две последние цифры шифра) взять из столбца 2 табл. К1а |
1 |
2 – 4cos (πt/6) |
|
2 |
2 cos (πt/6) – 3 |
|
3 |
4 – 2t |
у = f2(t) для вариантов от 30 до 69 (две последние цифры шифра) взять из столбца 3 табл. К1а |
4 |
2 – t |
|
5 |
2 t |
|
6 |
t – 4 |
|
7 |
8 sin (πt/6) – 2 |
y = f2(t) для вариантов от от 70 до 99 (две последние цифры шифра) взять из столбца 4 табл. К1а |
8 |
2 sin (πt/6) |
|
9 |
2 – 4sin (πt/6) |
Т а б л и ц а К1а
Последняя цифра шифра |
Уравнение движения точки y = f2 (t) |
||
Для вариантов от 00 до 29 |
Для вариантов от 30 до 69 |
Для вариантов от 70 до 99 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
12 sin (πt/6) |
2 t² + 2 |
4 cos (πt/6) – 2 |
1 |
4 – 6 cos (πt/3) |
8 sin(πt/4) |
14 – 16cos (πt/6) |
2 |
–3 sin² (πt/6) |
(2 + t)² |
4 cos (πt/3) |
3 |
9 sin (πt/6) – 4 |
2 t³ |
–10 cos (πt/6) |
4 |
4 cos (πt/3) – 2 |
2 + 2 cos(πt/4) |
–4 cos (πt/6) |
5 |
–10 sin (πt/6) |
2 – 3t² |
8 – 12 cos (πt/3) |
6 |
2 – 6 sin² (πt/6) |
2 – 2 sin(πt/4) |
2 cos (πt/6) |
7 |
2 sin (πt/6) – 2 |
(t + 1)³ |
2 – 8 cos (πt/3) |
8 |
8 cos (πt/3) + 5 |
2 – t³ |
8 cos (πt/6) – 4 |
9 |
3 – 8 sin (πt/6) |
4 cos(πt/4) |
–8 cos (πt/3) |
Указания. Задача К1 решается с помощью формул, по которым определяется скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.
В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t = 1с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть знакомые из тригонометрии формулы:
cos 2α = 1 – 2sin2 α = 2cos2 α – 1;
sin 2α = 2sin α cos α.
Пример решения задачи К1
Д а н о: Уравнения движения точки в плоскости xy:
x
= –2 cos
+
3; y
= 3 sin
–
1,
где x, y – в метрах, t – в секундах.
О п р е д е л и т ь: уравнение траектории точки; найти скорость и ускорение точки для момента времени t = 1 с, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Показать векторы скорости и ускорения этой точки.
Р е ш е н и е
Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций, возводим обе части уравнений в квадрат и складываем:
cos Получим
Это уравнение эллипса (рис. К1). Найдем на траектории положение точки М, определив ее координаты при t = 1 с: xt=1c = –1,59 м; yt=1c = 1,12 м (рис. К1). Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси: |
|
Рис. К1 |
;
sin
.
.
Vx
=
;
Vy
=
;
V
=
,
при t = 1 с
Vx = 1,11 м/c; Vy = 1,67 м/c;
V = 2,0 м/c.
Аналогично найдем ускорение точки и определим касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории:
;
;
;
;
;
.
При t = 1 с
ax = 0,87 м/c2; a = –0,6 м/c2;
ay = –1,30 м/c2; an = 1,67 м/c2;
a = 1,57 м/c2; = 2,38 м.
Покажем векторы скорости и ускорения для соответствующей точки М траектории (см. рис. К1).
О т в е т: V = 2,0 м/с; а = 1,57 м/с2; а= –0,6 м/с2; аn = 1,68 м/с2;
= 2,38 м.
З а д а ч а К2