Сложное движение точки

Пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону  = (t), заданному в табл. К2. Положительное направление отсчета угла  показано на рисунках дуговой стрелкой (рис. К2.0–К2.9).

Рис. К2.0	Рис. К2.1

На рис К2.7, К2.8, К2.9 ось вращения пластины проходит через точку О₁ перпендикулярно плоскости чертежа (пластина вращается в своей плоскости). На рис. К2.0, К2.2, К2.4, К2.5 ось вращения пластины вертикальна, а на рис. К2.1, К2.3, К2.6 – горизонтальна.

Рис. К2.2	Рис. К2.3
Рис. К2.4	Рис. К2.5
Рис. К2.6	Рис. К 2.7
Рис. К2.8	Рис. К2.9

По пластине движется точка М согласно закону s = OM = s(t) (табл. К2). На всех рисунках точка М показана в положении, при котором s = ОМ положительно.

Т а б л и ц а К2

Номер условия	Закон движения пластины  =  (t), рад	Размер R, м	Закон движения точки s = s(t), м
0	4 (t2 – t)	1,2	R (4t2 – 2t3)
1	3t2 – 8t	1,6	R (2t2 – t3)
2	6t3 – 12t2	1,0	R (2t2 – 1)
3	t2 – 2t3	1,6	R (2t4 – 3t2)
4	10t2 – 5t3	0,8	R (3t – t2)
5	2(t2 – t)	2,0	R (t3 – 2t)
6	5t – 4t2	1,2	R (t3 – 2t2)
7	15t – 3t3	0,8	R (t – 2t2)
8	2t3 – 4t	1,0	R (3t2 – 2t)
9	6t2 – 3t3	2,0	R (t – 2t2)

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1с.

Указания. При решении задачи К2 следует движение точки по пластине считать относительным, вращательное движение самой пластины – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений.

Прежде всего необходимо определить, где в момент времени t = 1 c будет находиться точка М, и изобразить ее именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче). В случаях, когда точка М движется по дуге радиуса R, положение точки М определяется углом ОСМ.

Пример решения задачи К2. Пластина (рис. К2) вращается вокруг горизонтальной оси по закону  = (t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рис. К2 дуговой стрелкой. По дуге АОД движется точка М согласно закону s = ОM = s(t); положительное направление отсчета расстояния s – от О к Д.

Д а н о: R = 0,5 м; φ = 2t²; s = ОМ = R (φ – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

О п р е д е л и т ь: абсолютную скорость V_a и абсолютное ускорение a_a точки М в момент времени t = 1 с.

Рис. К2

Р е ш е н и е

Точка М совершает сложное движение. При этом ее движение по дуге является относительным, а движение вместе с пластиной – переносным.

Рассмотрим относительное движение. Это движение происходит по закону

s = ОМ = R . (1)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге AОД в момент времени t = 1с. Подставляя в уравнение (1) t = 1 с, получим . Тогда . Изображаем на рис. К2 точку в положении, соответствующем этому углу.

Определим значения скорости и ускорения:

, (2)

где _от = R – радиус кривизны траектории при относительном движении точки. Для момента времени t = 1 c, учитывая, что R = 0,5 м, получим

; м/с²; м/с². (3)

Положительные значения V_от и показывают, что вектор направлен по касательной в сторону положительного отсчета s, а вектор так же, как вектор . Вектор направлен к центру С вдоль радиуса. Покажем эти векторы на рис. К2.

Рассмотрим переносное движение точки. Движение пластины (вращение) происходит по закону φ = 2t². Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения:

ω = = 4t; ε = = 4.

При t = 1 с

ω = 4 с^-1; ε = 4 с^-2. (4)

Положительные значения указывают на то, что направления ω и ε совпадают с направлением φ (см. рис. К2).

Для определения V_пер и а_пер найдем сначала радиус вращения точки М:

KB = h = 2R – Rcos 30 = 0,57 м.

Тогда в момент времени t = 1с, учитывая равенства (4), получим

V_пер = ω  h = 4  0,57 = 2,28 м/с;

_a^вр_пер = ε  h = 4  0,57 = 2,28 м/с²; (5)

a^ц_пер = ω²  h = 4²  0,57 = 9,12 м/с².

Изобразим на рис. К2 вектор скорости _пер с учетом направления ω и векторы ускорений: (направлен по радиусу к оси вращения), (направлен так же, как _пер).

Ускорение Кориолиса

а_кор = 2 | V_от |· |ω | · sin α,

где α – угол между вектором и вектором , который направлен вдоль оси вращения, как показано на рис. К2, α = 30^о.

Тогда согласно равенствам (3) и (4) в момент времени t = 1 с

_кор = 2 | V_от | · | ω | sin 30^о = 2 · π/4 · 4 · 1/2 = 3,14 м/с². (6)

Направление вектора _кор найдем, спроецировав вектор _от на плоскость вращения, и повернув эту проекцию на 90⁰ по ходу вращения пластины (см. рис. К2).

Рассмотрим абсолютное движение точки. Определим абсолютную скорость. Так как _а = _от + _пер, а векторы _от и _пер взаимно перпендикулярны (см. рис. К2), то в момент времени t = 1 с

V_а= = = 2,4 м/с.

Определим абсолютное ускорение. По теореме о сложении ускорений

_а = . (7)

Проведем координатные оси Мxyz (рис. К2) и, проецируя обе части равенства (7) на координатные оси, вычислим проекции векто- ра _а на эти оси. Учтем при этом, что векторы , лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости Мyz_.

Учтя одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t = 1 с

а_{а x} = а_кор + а = 5,42 м/с²;

а_{а y} = – а соs 60 + а соs 30 = 0,74 м/с²;

а_{а z} = - а соs 60 – а соs 30 + а = 7,27 м/с².

Тогда

а_а = = 9,1 м/с².

О т в е т: V_а = 2,4 м/с; а_а = 9,1 м/с².

З а д а ч а к3