Динамика

З а д а ч а Д1

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Тело D, имеющее массу m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. Д1.0–Д1.9).

Рис. Д1.0	Рис. Д1.1
Рис. Д1.2	Рис. Д1.3
Рис. Д1.4	Рис. Д1.5
Рис. Д1.6	Рис. Д1.7
Рис. Д1.8	Рис. Д1.9

На участке АВ на тело, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила , направленная вдоль трубы, и сила трения. В точке В тело, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС и движется, скользя по трубе. При этом на тело, кроме силы тяжести, действуют силы трения и переменная сила , величина проекции которой F_x на ось х задана в табл. Д1. Там же приведены величины m, V₀, Q, расстояние между точками А и В (l = АВ) или _АВ – время движения тела от точки А до точки В и коэффициент трения f тела о трубу.

Т а б л и ц а Д1

Номер условия	m, кг	V0, м/с	Q, H	f	l, м	τАВ, c	Fx, H	Найти
0	2,4	12	5	0,2	1,5	–	4 sin (4t)	V1
1	2	20	6	0,4	–	2,5	–5 cos (4t)	x1
2	8	10	16	0,3	4	–	6t	V1
3	1,8	24	5	0,3	–	2	–2 cos (2t)	x1
4	6	15	12	0,2	5	–	–5 sin (2t)	V1
5	4,5	22	9	0,3	–	3	3t	x1
6	4	12	10	0,1	2,5	–	6 cos (4t)	V1
7	1,6	18	4	0,4	–	2	–3 sin (4t)	x1
8	4,8	10	10	0,2	4	–	4 cos (2t)	V1
9	3	22	9	0,3	–	3	4 sin (2t)	x1

Считая тело материальной точкой, необходимо определить закон движения х = (t) на участке ВС.

Указания. Решение задачи Д1 разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки D на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ (_АВ) или его длину l, определить, какую скорость будет иметь тело в точке В. Эта скорость будет начальной для движения тела на участке ВС. После этого необходимо составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения на участке ВС тоже с учетом начальных условий.

Пример решения задачи Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз массой m действует сила тяжести и постоянная сила сопротивления . Длина участка АВ l₁ = 2 м. В точке А груз имеет начальную скоростьV₀ = 6 м/с. На наклонном участке ВС на груз действует сила тяжести, сила трения (коэффициент трения груза о плоскость равен f) и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Д а н о: m = 5 кг; R = 40 H; V0 = 6 м/с; lАВ = 2 м; f = 0,2; Fx = 45 sin (3t). О п р е д е л и т ь: закон движения груза на участке ВС: x = х(t). Р е ш е н и е Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось Az в направлении движения груза и составляем диф-
	Рис. Д1

ференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

, или . (1)

Далее находим P_z = P = mg, R_z = –R.

При V_z = V получим

или . (2)

Тогда, разделяя в уравнении (2) переменные и интегрируя обе части равенства, приняв g  10 м/с², получим

. (3)

Из начальных условий при t = 0 скорость V = V₀, что даёт С₁ = V₀. Тогда уравнение (3) принимает вид

V = 2t + 6. (4)

Учитывая, что , получим

.

Откуда при разделении переменных и интегрировании

z = t² + 6t + C₂. (5)

Из начальных условий при t = 0 и начальной координате z₀ = 0 находим С₂ = 0, следовательно

z = t² + 6t. (6)

С учётом условий задачи при z = l_АВ = 2 м в точке В можно найти время t = τ_АВ движения груза по участку АВ:

2 = t² + 6t или t² + 6t – 2 = 0.

Извлекая корни, получим t₁ = 0,3 c; t₂ = –6,3 c, в физическом смысле t = τ_АВ = 0,3 с. Тогда по уравнению (4) скорость в точке В

V_B = 2τ_АВ + 6 = 6,6 м/с. (7)

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость V_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (V₀ = V_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и показываем действующие на него силы , , и . Проведём из точки В ось Вx и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

. (8)

Определим проекции сил на ось х:

P_x = P sin 30 = 0,5mg; N_x = 0; F_x = 45 sin (3t);

F_{тр x} = –fN = – f P cos 30º = – 0,17mg,

тогда уравнение (8) примет вид

= 0,5mg + 45sin (3t) – 0,17mg = 0,33mg + 45sin (3t). (9)

Разделив обе части равенства на m = 5кг и принимая g  10 м/c², получим

. (10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдём V_х:

V_x = 3,3t – 3cos (3t) + C₂. (11)

На участке ВС будем отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 скорость груза V = V₀ = V_B = 6,6 м/с. Подставляя эти величины в уравнение (11), получим

С₂ = V_B + 3cos (0) = 6,6 + 3 = 9,6.

При найденном значении С₂ уравнение (11) даёт

(12)

Умножая обе части на dt и снова интегрируя, найдём

x = 1,65t² + 9,6t – sin (3t) + C₃. (13)

Так как на участке ВС при t = 0 начальная координата x = 0, то С₃ = 0. Окончательно закон движения груза примет вид

x = 1,65t² + 9,6t – sin (3t), (14)

где x – в метрах, t – в секундах.

О т в е т: x = 1,65t² + 9,6t – sin (3t).

З а д а ч а Д2