2.2. Распределение Пуассона п()
Случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает любые целые неотрицательные значения m=0,1,2,… с вероятностями
. (2)
Число называется параметром распределения Пуассона. Множество случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметром , будем обозначать П().
Т
аким
образом, X
может принимать счетное множество
значений, и закон распределения этой
случайной величины задается следующей
таблицей
Н
а
рис.4 показаны вероятности P(X=m)
значений распределения Пуассона при
=0,5
и =2
соответственно.
Рис.4. Вероятности значений распределения Пуассона
Распределение Пуассона играет важную роль в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. - всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий: радиоактивных распадов, появления метеоритов, телефонных вызовов, помех в каналах связи, отказов оборудования, дорожных происшествий, несчастных случаев и т.д.
Распределение
Пуассона является предельным для
биномиального распределения, если в
схеме Бернулли число испытаний n
стремится к бесконечности, а вероятность
p
появления события
в каждом испытании стремится к нулю,
причем так, что
.
Отсюда получаем приближенную формулу
,
пригодную
для практических расчетов. Этой формулой
рекомендуется пользоваться, если
,
а
.
Для
распределения Пуассона
,
,
.
Пример
3. Вероятность
выпуска дефектного изделия равна
.
Из продукции выбрано n=5000
изделий. Найти вероятность того, что
среди них окажется два или более дефектных
изделия.
Параметр
равен
.
Определим требуемую вероятность
.
Так
как
,
а
,
то искомая вероятность равна
.
При
точных расчетах
.
О
пределение
вероятностей случайной величины X,
подчиненной распределению Пуассона с
параметром =0,4,
выполненное в Excel,
показано на рис.5.
Рис.5. Распределение Пуассона П(0,4)
В ячейке C2 находится значение параметра =0,4. В ячейках A5:A9 содержатся возможные значения распределения Пуассона: 0,1,2,3,4; значения 5,6,… опущены. В ячейках B5:B9 - вероятности этих значений, вычисленные по формуле (2), так содержимое ячейки B5 равно
B5 = ПУАССОН(A5;$C$2;ЛОЖЬ).
Ячейки C5:C9 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно, C5 = B5, C6 = C5+B6, C7 = C6+B7, и т.д.
Разыгрывание случайной величины, подчиненной распределению Пуассона, производится по формуле:
,
где - равномерно распределенное случайное число из промежутка [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейку E3 записать СЛЧИС(), а в ячейку F3 - формулу
= ЕСЛИ(E3<$C$5;$A$5;ЕСЛИ(E3<$C$6;$A$6;ЕСЛИ(E3<$C$7;
$A$7;ЕСЛИ(E3<$C$8;$A$8;$A$9)))).
После копирования содержимого пары ячеек E3:F3 на блок E4:F12 в ячейках F3:F12 получим 10 значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона.
2.3. Геометрическое распределение g(p)
Вероятность появления события в одном испытании равна p. Производится серия из нескольких независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Испытания продолжаются до тех пор пока не появится событие . Случайная величина X, равная числу испытаний до первого появления события , имеет геометрическое распределение вероятностей.
Очевидно, что случайная величина X может принять одно из значений m=1,2,3,…. Значение X равно m, если в m-1-ом испытании событие не произойдет, а в m-ом испытании событие произойдет. Поэтому
. (3)
Множество случайных величин, имеющих геометрическое распределение с параметром p, обозначается G(p).
Для геометрического распределения
,
,
.
Пример
4. В магазине
покупатель выбирает компьютер до тех
пор, пока не найдет наиболее подходящий.
Вероятность того, что ему понравится
компьютер, составляет
.
Требуется составить таблицу распределения
вероятностей случайной величины X,
равной числу компьютеров, просмотренных
покупателем.
Очевидно,
что случайная величина X
имеет геометрическое распределение
вероятностей. Она может принимать
значения 1,2,3,…. Так как
,
то по формуле (3) вероятности этих значений
равны
,
,
,
и т.д. В результате получим таблицу распределения вероятностей
-
X
1
2
3
…
P
0,3
0,21
0,147
…
Геометрическое распределение G(p) определяется одним параметром p. Фрагмент таблицы этого распределения, выполненный в Excel, представлен на рис.6.
Рис.6. Геометрическое распределение G(0,6)
В ячейке C2 находится значение параметра p, равное 0,6. В ячейках A5:A15 содержатся возможные значения геометрического распределения, в ячейках B5:B15 - вероятности этих значений, вычисленные по формуле (3). Так, содержимое ячейки B5 равно
B5 = $C$2*(1-$C$2)^(A5-1)
Ячейки C5:C15 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно, C5 = B5, C6 = C5+B6, C7 = C6+B7, и т.д.
Для разыгрывания случайной величины, подчиненной геометрическому распределению применяется формула:
,
где - равномерно распределенное случайное число из промежутка [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейке E5 записать формулу:
E5 = ЦЕЛОЕ(LN(СЛЧИС())/LN(1-$C$2))+1
и скопировать ее в ячейки E6:E14.