Последовательности и их свойства
Определение последовательности
Пусть каждому натуральному числу n (т.е. n = 1, 2, 3, …) по некоторому
закону поставлено в соответствие действительное число xn. В этом случае говорят, что задана последовательность х1, х2, … , xn , … . Последовательность х1, х2, … , xn , … будем обозначать { xn }.
Числа х1, х2, … , xn , … в последовательности { xn } называются членами последовательности; х1 – 1-м членом последовательности, х2 – 2-м членом последовательности, … , xn – n -м или общим членом последовательности.
Формулы, позволяющие выразить n –й член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.
Свойства последовательностей
Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.
Последовательность
{ xn
} называется неубывающей
(невозрастающей),
если
n
: xn
≤ xn+1,
т.е. х1
≤ х2
≤ … ≤ xn
≤ xn+1
≤ … (соответственно,
n
:
xn ≥ xn+1, т.е. х1 ≥ х2 ≥ … ≥ xn ≥ xn+1 ≥ … ).
Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяются общим термином – монотонные последовательности.
Последовательность { xn } называется возрастающей (убывающей), если n : xn < xn+1, т.е. х1 < х2 < … < xn < xn+1 < … (соответственно, n :
xn > xn+1, т.е. х1 > х2 > … > xn > xn+1 > … ).
Возрастающие и убывающие последовательности объединяются общим названием – строго монотонные последовательности.
Последовательность { xn } называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М.
Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно,
называется ограниченной . Это определение равносильно следующему: последовательность { xn } ограничена, если существует такое число М > 0, что для всех n справедливо неравенство | xn | < М.
Последовательность { xn } называется неограниченной, если для любого
М > 0 найдется такой ее член xn , что | xn | > М.
Действия над последовательностями
Пусть { xn } и { уn } – две произвольные последовательности. Суммой (разностью) последовательностей { xn } и { уn } называется последовательность, каждый член которой есть сумма (соответственно, разность) соответствующих членов последовательностей { xn } и { уn }. Т.о., { xn } + { уn } = { xn + уn }.
Аналогично определяются произведение и частное двух последовательностей { xn } и { уn }, причем в случае частного предполагается, что уn ≠ 0, n.
Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из них постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность { xn } на число а необходимо каждый член этой последовательности умножить на а, т.е. а ·{ xn }= { а xn }.
Пример 1. Написать первые четыре члена последовательности { xn }, если:
а) xn
=
;
б) xn – n–й знак в десятичной записи числа е;
в) x1 = 1, xn = xn-1 + 2.
● а) Подставляя поочередно n
= 1, 2, 3, 4 в формулу для общего члена
последовательности, найдем: x1
= –1, x2
=
,
x3
=
,
x4
=
.
б) Поскольку е = 2,71828…, то x1 = 2, x2 = 7, x3 = 1, x4 = 8.
в) В соответствии с формулой xn = xn-1 + 2 получим x2 = x1 + 2 = 3, x3 = x2 + 2 = 5,
x4 = x3 + 2 = 7.
Пример 2. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху?
ограничены снизу? ограничены?
а) 2, 4, 6, 8, … ;
б) –1, –4, –9, –16, … ;
в)
,
,
,
… ;
г) –2, 4, –8, 16, … ?
● а) Данная последовательность, состоящая из всех четных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху.
б) Последовательность ограничена сверху (xn = –n2 < 0, n = 1, 2, 3, … ), но не ограничена снизу.
в) Последовательность ограничена,
т.к. она ограничена снизу и
сверху: 0 < xn
=
<
1. г) Последовательность {(–2)n}
не ограничена, т.к. для любого
числа M > 0
можно найти такой номер n,
что | xn
| =
2n
> M.
Пример 3. Какие из следующих последовательностей монотонные, а какие – строго монотонные:
а) xn = 2n + 1 ;
б) xn = ;
в) xn
=
;
г) xn
= [
];
д) –1, –1, –2, –2, –3, –3, … ?
● а) Данная последовательность строго возрастает, т.к. xn+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3 > > 2n + 1 = xn для всех натуральных чисел n.
б) Последовательность
=
не является ни монотонной, ни
строго монотонной, т.к., например,
x1
< x2,
но x2
> x3.
в) Последовательность
=
–убывающая, т.к . xn
=
>
=
xn+1
,
n = 1, 2, 3, … .
г) Последовательность {[
]}
= {1, 1, 1, 2, 2, …} –неубывающая, т.к .
xn+1
= [
]
≥
≥ [ ] = xn , n = 1, 2, 3, … и к тому же, например, x1 = x2 .
д) Данная последовательность невозрастающая, т.к. xn ≤ xn+1 , n = 1, 2, … и
некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой.
Пример 4. Пусть { an } = {n}, { bn } = {1/n} – две последовательности. Найти
последовательности: { an + bn }, { an – bn }, { an – bn }, { an / bn }.
a) По определению операций над последовательностями имеем:
{ an + bn } = {n + 1/n} = { 2, 2 ½, 3 1/3, ... };
{ an – bn } = {n – 1/n} = { 0, 3/2, 2 2/3, ... };
{ an – bn } = {n 1/n} = {1} = { 1, 1, 1, ... };
{ an / bn } = {n : 1/n} = { n2} = { 1, 4, 9, ... }.