6. Дифференциал
Понятие дифференциала
Пусть функция у = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки х0. Тогда если существует такое число А, что приращение у этой функции в точке х0, соответствующее приращению х аргумента, представимо в виде
Δy = A ∙ х + α(х) ∙ х,
где
α(х)
= 0 (α(х)
– б.м.ф.) , то функция у
= f
( x
) называется
дифференцируемой
в точке
х0.
При этом главная, линейная относительно
х,
часть этого
приращения, т.е. А
х,
называется дифференциалом
функции в точке х0
и обозначается dy
или d
f
(
x0
).
Нетрудно показать (положив у = х в выражение для приращения функции у), что dх = х.
Функция у = f ( x ) дифференцируема в точке х0 тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная f ( x0 ); при этом А = f ( x0 ). Поэтому d f ( x0 ) = f ( x0 ) dх, или, если f ( x ) существует на интервале (a; b), то
dу = f ( x ) dх, х (a; b).
Если приращение х аргумента близко к нулю (т.е. достаточно мало), то приращение у функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. у dу, откуда
f (x0 + х ) f (x0) + f ( x0 ) х.
Эта формула удобна для приближенного вычисления значения функции и ее производной в точке х0.
Пример 2. Вычислить приближенно ln 1,02.
• f (x)
= ln x =>
ln (x0
+ Δx) ≈
ln x0
+
∙
Δx ||
x0
= 1, Δx
= 0,02 || => ln 1,02 ≈
≈ ln 1 +
∙
0,02 = 0,02.
Пример 3. Вычислить приближенно
.
Замечание. Значение приращения аргумента в тригонометрических функциях следует брать в радианах.
7. Правила лопиталя. Формулы тейлора
Правила Лопиталя
1-ое правило
Лопиталя .
Пусть
функции f
(
x
)
и g
(
x
)
дифференцируемы
в некоторой окрестности
U(х0)
точки
х0,
кроме,
быть
может,
самой
этой точки,
и
g
(
x
)
0
х
U(х0),
х
х0.
Тогда,
если
=
= 0
(неопределенность вида
)
и
существует
,
то
существует и
причем = .
2-ое правило
Лопиталя .
Пусть
функции f
(
x
)
и g
(
x
)
дифференцируемы
в некоторой окрестности
U(х0)
точки
х0,
кроме,
быть
может,
самой
этой точки,
и
g
(
x
)
0
х
U(х0),
х
х0.
Тогда,
если
=
= ∞
(неопределенность вида
)
и
существует
,
то
существует и
,
причем
=
.
Замечания.
1.
Если
отношение
,
в
свою очередь, представляет собой
неопределенность вида
или
,
то
правила Лопиталя (при условии выполнения
соответствующих ограничений на функции
f
′
(
x
)
и
g
′(
x
) можно
применять второй раз и т.д.
2.
Если
имеет место неопределенность вида [0
∙ ∞],
то для применения правила Лопиталя ее
предварительно надо свести к
неопределенности вида
или
,
т.е.,
если
=
0, а
=
∞, то
3. Если имеет место неопределенность вида [∞ – ∞], то для применения правила Лопиталя ее также предварительно сводят к неопределенности вида или обычно приведением дроби к общему знаменателю.
4. Если имеет место неопределенность вида [00], [1∞], [∞0], [0∞], то для применения правила Лопиталя их надо свести к неопределенности вида или , предварительно вычислив предел от логарифма функции (или записав степенно-показательную функцию u(x)v(x) в виде e v (x) ln u (x)).
Примеры 2:
Примеры 3:
Формула Тейлора
Пусть функция у = f ( x ) имеет в некоторой окрестности точки х0 производные
f
,
f
,
... , f
(n)
. Тогда для любой точки х
из этой окрестности имеет место
равенство (при х →х0).
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Последнее
слагаемое (т.е. остаточный член ) в формуле
Тейлора иногда записывают в виде
( в этом случае надо дополнительно
предполагать существование f
(n
+ 1)( x
) в данной окрестности точки х0
). Соответствующая формула тогда
называется формулой
Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа.
При х0
= 0 формула Тейлора принимает вид
и называется формулой Маклорена.
Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых важнейших элементарных функций:
