3. Предел последовательности

Бесконечно малые последовательности, предел последовательности

Последовательность { _n } называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех n  N), будет выполнено неравенство | _n | < . Обозначение: б.м.п. { _n }.

1. Число А называется пределом последовательности { α_n }, если последовательность { _n }= { _n – А} является бесконечно малой, или

2. число А называется пределом последовательности { α_n }, если для любого положительного числа  можно подобрать такой номер N ( как правило, зависящий от  ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех

n  N), будет выполнено неравенство | α_n – А | < , или

3. геометрическое определение: число А называется пределом последовательности { α_n }, если в любом интервале с центром в точке А находятся почти все (т.е. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности.

В случае, если последовательность { α_n } имеет своим пределом число А, говорят также, что последовательность { _n } сходится ( или стремится ) к числу А, и обозначают этот факт так:

Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится.

Связь между сходимостью и ограниченностью последовательности

1. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

2. Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

3. Всякая постоянная последовательность, члены которой равны с, сходится к этому числу.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность также

бесконечно малая последовательность.

2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число также бесконечно малая последовательность.

Операции над пределами последовательностей

1. П редел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

2. П редел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

В частности:

Пределы и неравенства

1. Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен.

2. Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности

3. Теорема о промежуточной переменной (о двух милиционерах): Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей { a_n }, { b_n } и { с_n } удовлетворяют условию a_n  b_n  с_n . Тогда если последовательности { a_n } и { с_n } сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность { b_n } также сходится к этому пределу.