Бесконечно большие последовательности

Последовательность { а_n } называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех n  N), будет выполнено неравенство а_n > M. Обозначение: б.б.п. { а_n }.

Про положительную бесконечно большую последовательность { а_n } говорят также, что она стремится к плюс бесконечности, и обозначают этот факт так:

Последовательность { а_n } называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа М найдется такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех n  N), будет выполнено неравенство а_n < M.

Про отрицательную бесконечно большую последовательность { а_n } говорят также, что она стремится к минус бесконечности, и пишут:

Последовательность { а_n } называется бесконечно большой, если последовательность {| а_n |} является положительной бесконечно большой.

Если последовательность { а_n } – бесконечно большая, то говорят также, что она стремится к бесконечности, и пишут:

К роме того, полезно иметь в виду следующее:

Число е

 Пусть  - произвольное положительное число. Тогда из неравенства | a_n | < , т.е.

¹/ _n < , получим n > ¹/ _  N = [¹/ _] + 1. Действительно, для всех n  N будем иметь ¹/ _n < , т.е. | a_n | < . Но это и означает, что последовательность {a_n} = {¹/ _n } – бесконечно малая. 

Пример 5. Найти предел последовательности .

4. Предел функции Определение предела

Окрестностью точки х₀ называется любой интервал с центром в точке х₀.

Пусть функция f ( x ) определена в окрестности точки х₀ кроме, быть может, самой точки х₀.

Первое определение предела функции ( Гейне ):

Число А называется пределом функции f ( x ) в точке х₀ , если для любой последовательности {х_n}, сходящейся к х₀ (х_n ¹ х₀ "n ), последовательность

{ f ( x_n )} соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначение: .

Второе определение предела функции ( Коши ) (эквивалентно первому):

Операции над пределами функций

1. [ f (x) g (x) ] = f (x) g(x).

2. [ f (x) ∙ g (x) ] = f (x) ∙ g(x).

3. = (при условии ≠ 0).

Пределы функций и неравенства

Пусть функции f ₁( x ) и f ₂( x ) определены в некоторой окрестности точки х₀ (кроме, быть может, самой этой точки) и f ₁( x ) ≤ f ₂( x ) для всех значений х из этой окрестности. Пусть, кроме того, f ₁( x ) = А₁, f ₂( x ) = А₂. Тогда А₁ ≤ А₂.

Теорема о промежуточной функции (теорема о двух милиционерах).

Пусть функции f ₁( x ), f (x), f ₂( x ) определены в некоторой окрестности U(х₀) точки х₀ (кроме, быть может, самой этой точки) и для всех х U(х₀), х ≠ х₀ верно неравенство f ₁( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ₂( x ). Пусть, кроме того, f ₁( x ) =

= f ₂( x ) = А. Тогда f ( x ) также существует и равен А.

Теорема о сохранении знака. Если предел функции в данной точке х₀ положителен, то и все значения функции в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки х₀) положительны.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Пусть функция имеет предел в данной точке. Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки.