§17. Лаплас және Пуассон теңдеулері

Физикалық табиғаты әртүрлі стационарлық процесстерді зерттеген жағдайда, әдетте эллипстік типті теңдеулер шығады..

Бұл типті теңдеулердің ішіндегі ең көп тарағаны, ол Лаплас теңдеуі:

u ( x, y , z)  0

(72)

Анықтама. Егер G аймағында өзінің екінші ретті туындыларымен бірге үзіліссіз болып табылатын u(x, y, z) функциясы Лаплас теңдеуін (72)

қанағаттандыратын болса, онда ол функция G аймағында гармониялық деп аталады.

Бұл теңдеуді (72) электромагниттік өрістің потенциалы, денеге температураның стационарлық үлестірілуі және т.с.с. қанағаттандырады.

Жылу көздері (жылу сіңіргіштер) болған жағдайда теңдеу мынадай түрде жазылады:

			u ( x, y , z )   f ( x, y , z).	(73)
Мұндағы	f 	F	, F – жылу көздерінің тығыздығы, 	– жылу
		

өткізгіштік коэффициенті.

Біртекті емес Лаплас теңдеуін (73) жиірек Пуассон теңдеуі деп те айтады.

110

S бетімен шектелген G денесін қарастырайық. Бұл дененің ішінде u(x, y, z) температурасының стационарлық үлестірілуі туралы есеп

былайша қойылады:

G аймағының ішінде (73) – теңдеуді және төмендегі шекаралық

шарттардың біреуін қанағаттандыратын u(x, y, z)

функциясын табу қажет:

1.

u

S  f1

(І шеттік есеп);

2.

u

 f

2

(ІІ шеттік есеп);

n

S

3.

 u  hu  f

3 

 0 (ІІІ шеттік есеп),

 n



S

мұндағы

f , f

, f , h

–

берілген функциялар,

u

– S бетіне жүргізілген

1

2

3

n

сыртқы нормаль бойынша алынған туынды.

Лаплас теңдеуі үшін қойылған бірінші шеттік есепті жиірек Дирихле есебі деп, ал екінші шеттік есепті Нейман есебі деп атайды.

Егер есептің шешімі S бетіне қарағанда ішкі (сыртқы) G₀ аймағында

іздестірілетін болса, онда сәйкес есепті ішкі (сыртқы) шеттік есеп деп атайды.

Енді Лаплас теңдеуі үшін қойылған бұл есептерді Фурье әдісімен қалай шешуге болатындығын қарастырайық.

а) Айталық, G аймағы радиусы R-ге тең дөңгелек болсын. Бұл жағдайда есепті полярлық координиталарда шешкен орынды болып табылады:

•  u

•  ^r _ r  r

		1 2u				 0	– Лаплас теңдеуінің r  R үшін u		r R  f ()

		r 			2


шартын қанағаттандыратын ішкі шеттік есептің шешімі мынадай түрде:

	1 			R 2  r2
u ( r ,  ) 			f ( )		d ,	(74)
	2			R 2  2 Rr cos      r 2

ал сыртқы шеттік есептің шешімі:

	1 			r 2  R2
u ( r ,  ) 			f ( )		d , r  R үшін(74')
	2			R 2  2 Rr cos      r 2

түрінде жазылады.

Мұндағы f () – берілген үзіліссіз функция.

111

Бұл (74) және (74') теңдіктерінің оң жақтарында тұрғын интегралдар Пуассон интегралы деп аталады.

ә) Айталық, G аймағы радиусы R-ге тең шар болсын. Шар үшін Дирихле есебі былайша қойылады:

u



2

u



ctg

u



1

u



1

u  0 – Лаплас теңдеуінің

 2

pp





 2



 2 sin2  

u (  ,  ,  )

R  f ( , )

шартын қанағаттандыратын шешімі:

u (  ,  ,  ) 

R

2 d   f  ,   

R2  2

sin d

(75)

3

4 0

0

R 2  2 R cos  2 

2

түрінде жазылады. Бұл формула сфера үшін Пуассон интегралы деп аталады.

Мұндағы f (,) – сфера бетінде анықталған, шектелген, үзінді-үзіліссіз функция. Ал

cos   cos   cos    sin   sin    cos( ).

б) Егер G   x  , y  0 жартылай жазықтық болса, онда Лаплас теңдеуінің: u ( x, y)  0 G аймағындағы

u ( x, y ) _y0  f ( x ) (   x  )

шекаралық шартын қанағаттандыратын шектелген шешімі мынадай түрде жазылады:

	1			ydt
u ( x , y ) 			f (t )		.	(76)
				y 2  (t  x)2
		

Мұндағы f ( x) ( , ) аралығында үзіліссіз және шектелген функция.

в) Айталық, G радиусы R-ге тең, өсі oz өсінің бойымен бағытталған ақырсыз дөңгелек цилиндр болсын. Бұл жағдайда да Нейман есебін полярлық координаталар жүйесінде қарастырайық:

Лаплас теңдеуінің:

1 u			 2 u		1 2u			 0
r r			r 2		r 2 2

112

шекаралық шартты:

u		 f ( )	     
n
	r R

қанағаттандыратын шешімі мынадай қатардың қосындысы түрінде табылады:

u ( r ,  )  a





 cos   b r sin  .

(77)

a r

0

 





 1

Мұндағы

a



1

 f ( ) cos  d ,

b



1



f ( ) sin  d ,

( 1).



R  1

 R 1

 



a , b

коэффициенттерінің

мәндерін (77) – қатарға қойып, Нейман

есебінің шешімін Пуассон интегралы түрінде жазамыз:

u ( r ,  )  a 

R



f ( ) ln  R 2  2 rR cos(   )  r

2 d.

(78)

2



0







Ескерту. Мұндағы f () – шектелген, үзінді-үзіліссіз функция және Нейман есебінің шешімі болуы үшін ^_ f ( ) d  0 болуы қажетті.



Бұл қарастырылған есептерді Грин функциялары немесе потенциалдар әдістерімен де шешуге болады.

Мысал ретінде жартылай кеңістік үшін Дирихле есебінің шешімін потенциалдар әдісімен қалай табуға болатындығын көрсетейік.

г) u(x, y, z)  0 – Лаплас теңдеуінің z  0 аймағындағы

u ( x, y , z ) _z0  f ( x, y)

шартын қанағаттандыратын шешімі төмендегідей түрде жазылады:

		z	 		f ( , ) d  d
	u ( x , y , z) 	2	 					.	(79)
					3
			   ( x   ) 2  ( y  )2  z2 
						2
					
Мұндағы	f (x, y) – гармониялық				және z  0 аймағында				үзіліссіз
u(x, y, z) функциясының z  0 жазықтығындағы шекаралық мәні.
1-мысал.	z  0 жартылай кеңістікте Лаплас теңдеуін u(x, y, z)  0
және

113

		1,		егер	 2  2 1;
u ( x , y , z)		
	z 0	 			 2  2 1;
			0,	егер
		

шартын қанағаттандыратын температураның стационарлық үлестірілуін табыңдар.

Шешуі. (79) – формуланы пайдаланып:

u ( x , y , z) 	z			d  d				(80)
	2				3
		 2  2 1	 ( x   ) 2	 ( y  )2  z2 
						2
					

функциясын табамыз.

Бізге z  0 жартылай өсте температураның стационарлық үлестірілуін

табу қажет. Демек, (80) – формулада x  0 ,				y  0 болады, яғни
u (0, 0, z) 	z			d  d			.
	2		 2  2  z2 		3
		 2  2 1			2

Енді бұл интегралды полярлық координаталар жүйесінде есептейік:

  r cos  ,   r sin .

Сонда

	u (0, 0, z ) 						z			1 2			rdrd 																			z			1							rdr							2 d 
							2						3																			2														3
										0 0 r 2  z 2 																									0 r 2  z2 													0
																			2				2
1		rdr						z		1				3																																					1
																																																									1
 z 										r 2  z 2 								d r 2  z 2 																								  z r 2  z2 															
														2																																					2
			3
0		r 2  z2 				2				0																																															0
			2
					 z 						1	 1  z2 					1							  1 																		z		.
																	2
								 z																											1							 z2
Сонымен, ізделінді функция:
											u (0, 0, z) 													1  z 2											 z						.
																												1  z2

теңдігі түрінде жазылады.

2-мысал. Вертикаль қабырғасының потенциалы V-ға, ал горизонталь қабырғасының потенциалы нөлге тең жартылай ақырсыз жазық

114

горизонталь қораптың ішінде потенциалдың қалай таралатындығын табыңдар.

	Шешуі.	Бұл есепті				шешу үшін u xx  uyy				 0	Лаплас теңдеуінің
	 x  , 0	
G 0		 y  b аймағындағы
		u ( x, y )		x  0  V		(0  y  b),	u ( x, y )		y0  0		( x  0),
						 0 ( x  0),	u  0,			x  
		u ( x, y )			y b

ұмтылғанда шекаралық шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу қажет.

Есепті Фурье әдісімен шешелік.

Алдымен екінші және үшінші шекаралық шарттарды қанағат-тандыратын шешімді мынадай түрде іздейміз:

• ( x, y )  X ( x)  У ( y).

• ( x, y) функциясын Лаплас теңдеуіне қойып, X ( x) , У ( y)

функциялары үшін төмендегідей жай дифференциалдық теңдеулердің жүйесін шығарып аламыз:

d 2 X	  2 X  0,	d 2У	 2У  0.
dx 2		dy2

Бұл теңдеулердің жалпы шешімі:

X ( x )  c₁e ^{  x}  c₂ e^x , У ( y )  c₃ cos  y  c₄ sin y

түрінде жазылады.

x   ұмтылғанда ( x, y)  0 ұмтылатындықтан c₂  0 болсын деп алуға болады.

Сөйтіп,  ( x, y )  e ^{ x} ( cos  y   sin y).

Екінші шекаралық шарттан:  ( x, 0)  e^x    0    0, ал үшінші шарттан:  ( x, b)  e ^{ x}   sin b  0 болатындығы шығады. Соңғы теңдіктен

sin  b  0   	n	( n  0,1,...).
	b

Сонымен, біз соңғы екі шекаралық шарттарды қанағаттандыратын шешімдерді таптық:

_{ n ( x , y )  ne}^{ n}b^{ x} _sin ^n_b ^y _.

115

Енді есептің шешімін мынадай қатар түрінде іздейміз:

		n x
u ( x , y )  n	 e 				sin			n y		.
		b
n0								b
Мұндағы n белгісіз коэффициенттерін u(x, y) функциясы бірінші
шартты қанағаттандыратындай етіп табуымыз қажет:
			n y
u (0, y )  n  sin						 V .
n0					b

Бұл теңдікті V функциясының синустар бойынша Фурье қатарына жіктелуі деп қарастырып, оның _n коэффициенттерін Фурье формуласы

бойынша табамыз:

2 b

n y

2V b

n y

2Vb 

nb



n



V sin

dy 

sin

dy  

 cos

 1 



b

b

b 0

b

b

0

bn 



2bV

0,

егер

n  2





(1  cos n )  

4V

nb

,

егер

n  2 1.



 n

Сонымен,

2

 0 . 2  1 

4V

. (к = 0, 1, ...).

n



4V



( 2 n 1) x

(2 n 1) y

Сөйтіп, u ( x , y )  

e

sin

b

(2 n 1)

b

n0

4V 

1



( 2 n 1) x

(2 n 1) y

немесе u ( x , y ) 



e

b

sin

.



n0 (2 n 1)

b

3-мысал.

u xx ( x, y )  u yy ( x, y )  xy

– Пуассон теңдеуінің радиусы R-ге

тең дөңгелек ішіндегі

u ( x, y) _{r R}  0

шартын қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Шешуі. Есептің шешімін мынадай түрде іздейміз:

u ( x, y )   ( x, y ) W ( x, y).

116

Мұндағы  (x, y) Пуассон теңдеуінің қандай да болмасын дербес шешімі, ал W (x, y) төмендегі есептің шешімі:

W_xx  W_yy  0, W _{r  R}   _{r R} ,

ал  (x, y) үшін    ₁₂¹ xy x ²  y²  функциясын аламыз.

Енді полярлық координаталар жүйесіне көшеміз: Сонда

 

W 

1 2 w

 r

 

 0,

(81)

r 

2

r 

r 

W

r  R

 

r R 

1

R4 sin 2,

(82)

24

(81) – теңдеудің (82) – шартты қанағаттандыратын шешімі Пуассон

формуласы (74) бойынша мынадай түрде жазылады:

R 4



R 2  r 2

W ( r ,  ) 

 sin 2

d.

48

R 2  2 Rr cos(  )  r 2



Сонымен, қойылған есептің шешімі:

	1		R 4		R 2  r 2
u ( r ,  )  		r 4 sin 2 		 sin 2		d
	24		48		R 2  2 Rr cos(  )  r 2
				

түрінде болады.

117

Жаттығу есептері

Екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді қарапайым түрге келтіріңдер:

1. x ² u _xx  2 xyu _xy  y ²u_yy  0.

2. u _xx  4u _xy  3u _yy  2u _x  6u_y  0.

3. _x¹₂ u _xx  _y¹₂ u_yy  0.

4. y ² u _xx  2 xyu _xy  2 x ²u _yy  yu_y  0.

5. tg ² xu _xx  2 ytgxu _xy  y ²u _yy  tg ³ xu_x  0.

6. 1  x ² u _xx  2 xyu _xy  1  y ² u _yy  2 xu _x  2 yu_y  0.

7. 1  x ² u _xx  2 xyu _xy  1  y ² u _yy  2 xu _x  2 yu_y  0.

Теңдеулердің жалпы шешімін табыңдар:

8. u _xx  yu _yy  0,5u_y  0, ( y  0 ).

8. x ² u _xx  2 xu _x  x ²u_yy  0.

8. xu _xx  yu _yy  ¹₂ u _x  u_y   0 , ( x  0 , y  0 ).

Ішектің тербеліс теңдеулерін сипаттамалық әдіспен шешіңдер

11. u _xx  2u _xt  3u_tt  0 – теңдеуінің D(   x  , t  0) аймағындағы

u ( x, 0)  3x2 , u ( x, 0)  0 шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

t

12.

u xx  xu xy



3

x 2 u yy



3

x 3

 2 xy  30 x  0

– теңдеуінің u

y0  7  5x3

,

4

2

u_{y y0}  0 шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

13. u _xx  2cos xu _xy  sin ² xu _yy  sin xu_y  0 – теңдеуінің бастапқы шарт-тарды:

^u y sin x ^{ }0 ^{( x), u }y y sin x ^{ }1 ^{( x)}

118

қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

14. u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

теңдеуінің D(   x  , t  0)

аймағындағы

tt

u ( x, t )

t 0  cos x, ut ( x, t )

t 0  sin x шарттарын

қанағаттандыратын шешімін

табыңдар.

15. u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )

теңдеуінің D(   x  ,    t

0

 t)

аймағындағы

tt

төмендегі шарттарды қанағаттандыратын шешімін табыңдар:

u ( x, t )

t t  ( x), ut ( x, t )

t t

 ( x).

0

0

Ішектің тербеліс теңдеулерін Фурье әдісімен шешіңдер:

16.	u ( x, t )  a 2u	xx	( x, t )			теңдеуінің D(0  x  l , t  0) аймағындағы
	tt
	u ( x , t )				t  0	 0, u  ( x , t )		t 0		A	( A  Const),
						t			10

u ( x, t ) _{x  0}  u ( x, t ) _x  0

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.
17.	u ( x, t )  a 2u	xx	( x, t )	теңдеуініңD(0  x  , t  0)	аймағындағы
	tt

т өмендегі шарттарды қанағаттандыратын шешімін табыңдар:

u ( x , t )

u ( x, t )

t 0

x0

		sin  x ,	u  ( x, t )			t 0
100		2	t
			u x ( x, t )
 0,						x

• 0,

• 0.

18. u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t )теңдеуінің

D(0  x  , t  0)аймағындағы

tt

бастапқы

u ( x , t )

t  0

 

x2

, u  ( x , t )

t 0

 0

10

t

және шекаралық

u ( x, t )

x  0

 0, u  ( x, t )

x

 

1

x

10

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

2



n a 

19. utt ( x, t )  a

u xx

( x , t )  f ( x ) sin t



 







119

теңдеуінің D(0  x  , t  0) аймағындағы

u ( x, t ) _{t  0}  ₀ ( x ), u_t ( x, t ) _{t 0}  ₁( x) 0  x  ; u ( x, t ) _{x  0}  0, u ( x, t ) _x  0

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

Мембрананың тербеліс теңдеулерін Фурье әдісімен шешіңдер:

20. utt ( x, y , t )  a 2 u xx ( x, y , t )  u yy ( x, y , t ) теңдеуінің
D(0  x  , 0  y 			, t  0) аймағындағы
u ( x, y , t )		t  0	 0, ut ( x, y , t )		t 0 	a	a  Const , u ( x, y , t )		c  0
					50

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Мұндағы С – квадрат мембрананың контуры.

21. u_tt ( x, y , t )  a ² u _xx ( x, y , t )  u _yy ( x, y , t ) теңдеуінің

D(0  x  , 0  y 

, t  0) аймағындағы

u ( x, y , t )

t  0



sin  x sin

 y , u  ( x, y , t )

t 0

 0, u ( x, y , t )

c

 0

100

t

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Мұндағы С – квадрат мембрананың контуры.

22. Радиусы -ге тең дөңгелек мембрана үшін қойылған шеттік есепті шешіңдер:

utt ( r , , t )  a

2

 1  

u 



1 2u





 r





,

r

2



2

 r

r 

r 



u ( r ,  , t )

t  0  0, ut ( r , , t )

t 0  c  a

(с, а – тұрақты шамалар),

u ( r , , t ) _  0 .

Мұндағы Г – дөңгелек мембрананың контуры.

Жылу өткізгіштік теңдеулерін Фурье әдісімен шешіңдер:

23. u_t ( x, t )  a ²u _xx ( x, t ) теңдеуінің D(   x  , t  0) аймағындағы

120

		u0 ,		егер	x   x0   , x0   
					x    x0   ,  x0  
		u 0	,	егер
u ( x , t )	t 0	 
					x x0   , x0   ,
		0,		егер
		
					x  x0   ,  x0  
		





шартын қанағаттандыратын шешімін және температураның үлестіру заңын жуық түрде өрнектейтін формуланы табыңдар. Мұндағы  – өте аз шама.

24. u_t ( x, t )  a ²u _xx ( x, t ) теңдеуінің D(0  x  , t  0) аймағындағы u ( x, t ) _{t  0}  f ( x ), u _x ( x, t ) _x0  0

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар. Мұндағы f ( x) – 0,  аралығында абсолют интегралданатын функция.

25. u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t ) теңдеуінің D(0  x 

, t  0) аймағындағы

t

x,

егер

0  x 

,

u ( x , t )



2

t 0  



 x,

егер

 x 

,



2



u ( x, t )

x  0  u ( x, t )

x  0 (t  0)

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

26. u ( x, t )  a 2u

xx

( x, t ) теңдеуінің D(0  x 

, t  0) аймағындағы

t

u ( x, t )

t  0  0,

u ( x, t )

x  0  A sin t ,

u ( x, t )

x

 0

шарттарын

қанағаттандыратын

шешімін табыңдар. Мұндағы A  Const ,

n a

.

l

27. ut ( x, t )  u xx ( x, t ) теңдеуінің D(0  x 

, t  0) аймағындағы

u ( x, t )

t  0 

Ax

, u ( x, t )

x  0  0, u ( x, t )

x  Aet

шарттарын

қанағаттандыратын

шешімін

табыңдар.

Мұндағы A,–

тұрақты шамалар.

121

2

 x



28.

ut ( x, t )  a

u xx ( x, t )  A 



1  cost

( A  Const )

теңдеуінің





D(0  x  , t  0)

аймағындағы

u ( x, 0)  0 ,

u (0, t )  u ( , t )  0

шарттарын

қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

29.

ut ( x, t )  3u xx ( x, t )  6u ( x, t )

теңдеуінің

D(0  x  2, t  0) аймағындағы

төмендегі шарттарды қанағаттандыратын шешімін табыңдар:

u ( x , 0)  x 2 

3

x  1, u (0, t )  1,

u (2, t )  2.

2

30.

ut ( x, t )  a 2u xx ( x, t ) b 2u x, t 

теңдеуінің

D(0  x  , t  0)

аймағын-

дағы u (0, t )  u0 ,

u ( , t )  u1 ,

u ( x, 0)  f ( x) шарттарын қанағаттандыратын

шешімін табыңдар.

Мұндағы a²  _c^_ , b²  ^h_c^ , к, h – ішкі және сыртқы жылу өткізгіштік

коэффициенттері, с – жылу сыйымдылығы, Г – өзектің тығыздығы,  – оның периметрі.

Лаплас және Пуассон теңдеулерін Фурье әдісімен шешіңдер:

31. u _xx ( x, y )  u _yy ( x, y)  0 – Лаплас теңдеуінің D(0  x  a, 0  y  b) тіктөртбұрышының ішіндегі

u _{x  0}  ₀ ( y ), u _{x a}  ₁( a ), (0  y  b)

u _{y  0}   ₀ ( x ), u _{y b}  ₁ ( x ), (0  x  a)

шекаралық шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

Нұсқау. Шешімді: u ( x, y )  u₁ ( x, y )  u₂ ( x, y) түрінде іздеу керек. Мұндағы u₁ ( x, y) , u ₂ ( x, y)

u₁ (0, y )  ₀ ( y), u₁ ( a, y )  ₁ ( y),

u₁ ( x, 0)  0, u₁ ( x, b)  0,

u₂ (0, y)  0, u₂ ( a, b)  0,

u₂ ( x, 0) ₀ ( x), u₂ ( x, b) ₁ ( x),

шекаралық шарттарын қанағаттандыратын гармониялық функциялар.

122

32. Радиусы бірге тең, центрі координаталар басында жататын шардың ішінде Лаплас теңдеуін қанағаттандыратын және шардың бетінде cos²  -ға тең мән қабылдайтын функцияны табыңдар.

33. u xx ( x, y )  u yy ( x, y)  0	– Лаплас теңдеуінің								x 2  y 2  R2 дөңгелегінің
ішіндегі
u			  ( ) 0				   2 
r
	r R
шекаралық шартын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.
34. Пуассон теңдеуінің: u xx ( x, y )  u yy ( x, y )  12									x 2  y2  a  r  b сақина
ішіндегі
	u		r a  0,	u				 0
				r				r b

шарттарын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

35. u _xx ( x, y )  u _yy ( x, y)  4 – Пуассон теңдеуінің радиусы R-ге тең, центрі (0,0) нүктесінде жататын дөңгелек ішіндегі

^u r R ^{ 0}

шартын қанағаттандыратын шешімін табыңдар.

123

Жауаптары

• тарау

0. Анықталу аймағы – дөңгелек: x ²  y² 16 .

Деңгей сызықтары – концентрлі шеңберлердің үйірі: x ²  y²  16  с² .

2. Анықталу аймағы: y ²  z ²  x²  0 .

Деңгей беттері – дөңгелек конустар: a ² y ²  z ²  x²  0 ( a 1).

3. Деңгей сызықтары – гиперболалар үйірі: x ²  y ²  arcsin c ( 1)ⁿ  n , мұнда n – кез келген бүтін сан.

3. Анықталу аймағы: z  0 жазықтығынан басқа бүкіл кеңістік. Деңгей беттері – x ²  y ²  cz (   c  ) айналу параболоидтары.

3. grad u ( M )  4i  2 j  4 .

3. grad u ( M )  12i  j .

grad u  

y

i 

x

7.

j .

x 2  y 2

x 2  y2



3z22



8.

grad u 

(2 r  z ) er 

 r 

 z e   2z 2  r ez .

r





9. а) grad u  2a  2 cos 

 a  sin

;

e

e





3sin 

3a sin  sin 2

a cos

ә)

grad u 

 3cos 2

  1 e 

e 

1  3cos2  e .

 4

 4

 4 sin

10. ^_^u_e   ¹₅ .

10. ^_^u  5 .

10. ^_^u  ₃² .

10.   10 .

124

14. ^_^u  2 .

14. x ²  y ²  c , z  h .

14. x ³  y ³  c₁ , z ³  y ³  c₂ .

14. y  c₁ z , x ²  y ²  z ²  c₂ y .

14. Координаталар басы арқылы өтетін түзулер.

14. а) div A  3 ;

ә) div A  2 x (4 z  3 y 1) ; б) div A  bc .

14. div A( M )   ¹₂ .

14. div A( M )  ⁹₄  .

14. div A( M )  ₁₈¹ .

14. div A  _¹ 2 cos ²   2 cos  cos   sin  cos .

14.   ¹₃ (  2) .

14.   0.

14.   4 .

14.    ² R³ .

14.   2 .

14. а) rot A  2 cos 2 x  y  z i  2 j ;

ә) rot



5i  3

j

 2

k

;

A

1   x  y  z 2

б) rot



1



,

 .

A

r

c

r

 

125

30. а) ә) б)

30. а)

ә)

rot A

rot A

rot A

rot A

rot A

•  r ² e_r  z ² e_  3rze_z ;

• 0 ;

•  e_r  _r^z e_z .



2( d   )

cos 



d  2

sin

;

e

e











cos 2

 2 cos

.

e

e

sin 



32. W  ^{6 }₄^ R³ .

32. Ц  b² .

32. Ц  2 .

32.   xyz .

32.   rz cos .

32.    cos   sin

32. а) соленоидальды, себебі бүкіл кеңістікте div A  0 ; ә) соленоидты емес; б) соленоидты емес.

40. div _ A, r _  0 .

40. ^_^A  3i  27 j  27k .

42. а)

ә)

42. а) ә)

( r ) 

,



grad u  ( r )



A

r

;

A

r

r

grad u  

2

c .



,

2

c

r

_{div A } ^( r ) c , r _; r

div A  2  A, r .

126

44. а) rot A  ^_r^{( r )} _ r , c_ ; ә) rot A  0 .



d



 d



B

A



A,





, B 

45.

 

( r ),

( r ) 

 

dr 

 

dr



.

A

B

r

r

r

r



46.

A



1



,

 .

a

b



b

 

50. а) гармониялық, ә) гармониялық, б) гармоняилық емес.

• тарау

1. u_  0 ,   _x^y ,   y .

2. u_  u_  0 ,   x  y ,   3x  y .

3. u

 u 

1



1

u 

1



 0,   y 2 ,

  x2 .



u 

2









4.

u  u 

1

u 

1

u  0,   x 2

 y 2 ,   x2 .

 

2









5.

u



2

u

 0,

  y sin x ,   y.

2





6. u

 u



0,

 

y

,

 

x 2  y2

1

, егер x 2  y2 1 болса,





x  1

x 1

u

 u

 0,

 

y

,

 

1  x 2  y2

,

егер x 2  y2 1 болса.





x  1

x  1

7.

u

 u



0,

 

y

,

 

1  x 2  y2

, егер x 2  y2 1 болса,





1  x

1  x

u

 u

 0,

 

y

,

 

x 2

 y2 1

,

егер x 2  y2 1 болса.





1  x

1  x

127

8. u ( x, y )  F x  2 y  G x  2 y ,   x  2 y ,   x  2 y.

_{9. u ( x , y) }  ( x  y )   ( x  y) _. x

10. u ( x, y )    x  y    x  y .

10. u ( x, t )  3 x ²  t ².

10. u ( x, y )  5 x ³  xy²  7.

13.

u ( x , y )   0 ( x  sin x  y )  0 ( x  sin x  y) 

1

x  sin x  y  ( z ) dz.

2

2



1

x  sin x  y

14.

u ( x, t )  cos( x  t).

1

  x  a  t  t 0    x  a  t  t 0

 

1

x  a  t t0 

15.

u ( x, t ) 



 ( ) d.

2

2a

x  a  t t0 

2 A



1

(2 n  1) a t

(2 n 1) x

16.

u ( x, t ) 



sin

sin

.

5a

2



1)

2

n0 (2 n

17.

u ( x, t ) 

sin  x cos

at

.

100

2



8

(2 n  1) a t

(2 n 1) x

x

18.

u ( x , t )  

cos

sin



.

3



3

2

10

n0 5(2 n 1)

2



n x

19.

u ( x , t )  an cos n t  bn sin nt sin



n1



fn

n x

 

 sin n t n sin t sin

,

2

2

n1 n 

n 

мұндағы

2



n x

n a 

n x

a





( x ) sin

dx,

b 

2

 ( x ) sin

dx,

n

0

n

1

0

0

f n



2

 f ( x ) sin

n x

dx,

n 

an

.

0

128

20. u ( x , t )  	0,32			sin  a	i 2  k 2	t sin	i x	sin	k  y	,
	 3ik i 2  k 2
i , k
мұндағы қосынды барлық тақ i  0,					k  0 нөмірлерінің мынадай жұптары

үшін орындалады: (1;1); (1;3); (3;1); (1;5); (3;3); (5;1); (1;7); ...

21. u ( x, y , t )  ₁₀₀ cos ^{a 2} t sin ^{ x} sin ^{ y} .



2c

a  (0) t





(0)r



22.

u ( r , , t )  

sin

k

J0 

k

 .

 (0)



2

J



(0)

k 1 

1







k



k 

  x0  

  x



2

x0 

 x



2



1





23.

u ( x , t ) 





u 0

e 

4 a 2 t

d 



u 0 e 

4a 2 t

d

 .

2a

t 

x0 



  x0 



24.

u ( x , t )   A(  ) e  2 a 2 t cos  xd , мұндағы A(  ) 

2

 f ( ) cos  d .



0

0

4



( 1)

n

e

( 2 n 1)2  2 a2

(2 n 1) x

25.

u ( x , t ) 



t sin

.

2



2

(2 n 1)

2

n0

 n a 2

n x





t

2



x 

2A 

e





sin

t

 n a 







26.

u ( x , t )  A

 1 

sin

 t 



e 



cos d .







n1

n

0



 n 2



 

 t

( 1)n  e





 et 

Ax

2 A

2







n x

27.

u ( x , t ) 

et









sin

.

2

2



2





n1

n n



2 A



1

 n a

2

n x

t

 



2

28.

u ( x , t )  



e



 sin

e n  cos d .



n1

n

0



2 k (1  2 cos k )

29.

u ( x , t )  



 .

2

2

k 1



8  k



16  8  8cos k  k 2 2 cos k 



3

8 k 2 2 t



k x



e

4

sin

k 3 3 8  k 2 2 

2





129

u sh

b

x  u sh

b

( x  )

2



( 1)

n

 u0

n x

a

u1

a 2 n2t

30. u ( x , t ) 

1

a

0



n

e

sin



b

2

2

n1

n

sh a

2



n x

n x



sin

e  a 2 n2t  f ( x ) sin

dx ,

n1

0

мұндағы 2



n 2 2



b2

.

n

2

a2

2

 

n ( a  x ) b

n y

n x b

n y



31. u ( x , y ) 

 sh

  0

( y ) sin

dy  sh

1( y ) sin

dy  *

b

b

b

b

b n1 

0

0



sin

n y

2 



n (b  y ) a

n x

n y a

n x

 sin

n x

b

a

*





 sh

 0 ( x ) sin

dx  sh

1 ( x ) sin

dx

sh

n a

a n1



a

0

a

a

0

a

 sh

nb

b

a

32. u ( r ,  )  ¹₃ 1  r ²  r ² cos²  .

32. u ( r ,  )  c  ^{R 2}_^    ln   z d ,

• 0

мұндағы с  Const ,		  Rei , z  rei .
			a 4 b4 			cos 2
34.	u ( r , )    a 4	 b 4 r 4   a 6  2b 6 r 2   a 2  2b2 								.
			r	2			4	 b	4
					 a
35.	u ( x, y )  R 2   x 2  y2 .

130

Әдебиеттер

1. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. – М.: Наука, 1966.

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Наука, 1973.

3. Колобов А.М., Неверов Г.С. Избранные главы высшей математики Ч. 3. – Минск: Высшая школа, 1971.

4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.-Л.: Физматгиз, 1963.

5. Левин В.И. Методы математической физики. – М.: Высшая школа,

1960.

6. Машрапов Н.Қ. Математикалық физика әдістері пәні бойынша бақылау жұмысы және оны орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар. – Павлодар: ПМПИ, 2008.

7. Мисюркеев И.В. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Просвещение, 1975.

8. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение,

1977.

9. Очан Ю.С. Методы математической физики. – М.: Высшая школа,

1965.

10. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Высшая школа, 1973.

11. Семянистый В.И. Задачник-практикум по курсу «Методы математической физики». – М.: Просвещение, 1965.

12. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математичесой физики. –

М.: Наука, 1975.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977.

14. Қазақша – орысша, орысша – қазақша терминологиялық сөздік: Математика. Жалпы редакциясын басқарған профессор А.Құсайынов. – Алматы: Республикалық мемлекеттік «Рауан» баспасы, 1999.

131

Мазмұны

Алғы сөз 3

Бірінші тарау. Өрістің математикалық теориясы

§1. Скалярлық өріс. Негізгі ұғымдар 4

§2. Скалярлық өріс градиенті 6

§3. Скалярлық өрістің бағыт бойынша алынған туындысы 9

§4. Векторлық өріс. Негізгі ұғымдар 14

§5. Векторлық өріс дивергенциясы 16

§6. Векторлық өріс ағыны. Остроградский формуласы 19

§7. Векторлық өріс роторы 29

§8. Сызықтық интеграл және векторлық өріс циркуляциясы. Стокс

формуласы 33

§9. Потенциалды және соленоидтық векторлық өрістер 39

§10. Гамильтон операторы. Бірінші ретті дифференциалдық

операциялар 45

§11. Гамильтон операторы. Екінші ретті дифференциалдық

операциялар 52

Жаттығу есептері 59

Екінші тарау. Математикалық физика теңдеулері

§12. Екінші ретті дербес туындылы теңдеулердің классификациясы

және оларды қарапайым түрге келтіру 64

§13. Ішектің тербеліс теңдеуі. Даламбер формуласы 74

§14. Ішектің тербеліс теңдеуі. Фурье әдісі 81

§15. Мембрананың тербеліс теңдеуі 90

§16. Жылу өткізгіштік теңдеуі 97

§17. Лаплас және Пуассон теңдеулері 110

Жаттығу есептері 118

Жауаптары 124

Әдебиеттер 131

132

Н.Қ. Машрапов, Г.Н. Машрапова

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ӘДІСТЕРІ

Тәжрибелік курс

Басуға 31.01.2012 ж. қол қойылды. Пішімі 29,7 х 42½. Офсеттік қағаз.

Көлемi шартты 2,0 б.т. Таралымы 100 дана. Тапсырыс № 0572.

Ғылыми-баспа орталығы Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты

140000. Павлодар қ., Мир көшесі, 60

133