§8. Сызықтық интеграл және векторлық өріс циркуляциясы. Стокс формуласы

Айталық, (V) облысында бірінші ретті дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болып табылатын

a ( M )  P ( x, y , z )i  Q( x, y , z ) j  R( x, y , z ) k

векторлық өрісі берілсін.

Анықтама. a(M ) векторлық өрісінің L сызығы бойынша алынған сызықтық интегралы деп төмендегідей қисық сызықты интегралды айтады:

W  _a ( M )   ( M ) d ,

L

мұндағы  (M )  L сызығына М нүктесінде жүргізілген бірлік жанама вектор, d  доғаның дифференциалы (6-сурет).

6-сурет

Егер бөлікті – тегіс L сызығы бірнеше: L₁ ,L₂ ,...,L_n  тегіс

бөліктерден құралатын болса, онда a(M ) өрісінің (L) сызығы бойынша

алынған сызықтық интегралы бөліктер бойынша алынған сызықтық интегралдардың қосындысына тең болады, яғни

W  

a

( M )  

( M ) d

  a   d

  a   d

 ...   a  d .

( L )

( L1 )

( L2 )

( Ln )

Сызықтық интегралды есептеу үшін d  d r теңдігін ескеріп, оны былайша жазған ыңғайлы болады:

		
			a	 		d   a  d r ,					(29)
		( L )				( L)
мұндағы d		– берілген (L)			сызығын сызатын						радиус-вектордың
	r
дифференциалы.

33

Декарт координаталар жүйесінде:

d r  dx  i  dy  j  dz  k ,

a  P ( x, y , z )i  Q( x, y , z ) j  R ( x, y , z ) k

болады, сондықтан

W  		 d		  Pdx  Qdy  Rdz .
	a		r		(30)
( L )				( L)

Егер (L) сызығы параметрлік түрде берілсе:

x  x (t ), y  y (t ), z  z (t ), t₁  t  t₂ ,

онда сызықтық интеграл мынадай формула бойынша есептелінеді:

t2

















W 



x (t )  Q

y (t )  R

P

x (t ), y (t ), z (t )

x (t ), y (t ), z (t )

x (t ), y (t ), z (t )

z (t ) dt . (31)

t 2

Егер (L) – жазық сызық болса, онда

W   Pdx  Qdy.

( L)

Немесе

t2













W 



x(t )  Q

P

x (t ), y (t )

x (t ), y (t )

y (t ) dt .

(32)

t 1

Анықтама. a(M )

векторлық өрісінің (L)

тұйық сызығы бойынша

алынған сызықтық интегралы циркуляция деп аталады:

Ц  		( M )dr .
	a		(33)
( L)

Айталық, (V) аймағында жататын тұйық (L) контурымен қоршалған бір (S) бетін алайық.

Стокс теоремасы. Тұйық контур бойындағы вектордың циркуля-циясы сол контурмен қоршалған бет арқылы өтетін ротордың (құйынның) ағынына тең болады, яғни





R



Q 

 P



R 



Q



P 

Pdx  Qdy  Rdz  

y

 dydz  

z

 dzdx  

x

dxdy . (34)

( L )

( S ) 

z 



x 



y 

34

Осы теңдік Стокс формуласы деп аталады, ол векторлық түрде былай жазылады:

 

( M )  dS  rot

( M ),

( M )dS .

a

( M ), 

a

n

(34΄)

( L )

( S )

1-мысал.

 x2  y2

 2x

 px  y

векторлық өрісінің

y 2  x

a

i

j

параболасының ОА доғасы бойынша алынған сызықтық интегралын есептеңдер. Мұндағы А нүктесінің координаталары x  y   .

Шешуі. Сызықтық инетгралды (30) – формула бойынша есептейміз, ол біздің жағдайымызда былайша жазылады:

W  _ x ²  y ²  2 x  dx  p ( x  y ) dy.

( OA)

Парабола теңдеуінен:

x 

y2

,

dx 

2

ydy -ті тауып, интеграл





таңбасының астындағы өрнекке қоямыз. Сонда

W 

P  

1

y 4

 y 2  2 y 2 

2

y  p 

y2

 y

dy 

 

2





p







0  









2 y 6

2 y 4

y3







2

 







y2





3.

3

6



4

3

2

3

 



0

2-мысал.	a	 xi		 y j  x  y 1k						векторлық өрісінің АВ	түзуінің
A(1; 1; 1) және	B(2; 3; 4)						нүктелерінің			арасындағы кесіндісі	бойынша
алынған сызықтық интегралын табыңдар.
Шешуі. (30) – формуланы пайдаланайық. Сонда
				W 			 xdx  ydy  ( x  y 1) dz.
							( AB)

(АВ) түзуінің теңдеуі мынадай түрде жазылады:

^x ₁^{ 1}  ^y ₂^{ 1}  ^z ₃^1.

Бұдан y  2 x 1, z  3 x  2 , dy  2dx , dz  3dx .

Бұл табылған мәндерді интеграл таңбасының астындағы өрнекке қоямыз. Сонда

35

			2							
	W 			xdx  (2 x  1)2 dx 							13.
										x  (2 x  1)  1 3dx
			1
3-мысал.		  y 2 i  x 2						векторлық өрісінің x 2  y 2  z 2  R2 сфера-
	a				j		k

сының координата жазықтықтарымен қиылысуынан пайда болған АВСА тұйық сызығы бойынша алынған циркуляциясын табыңдар (7-сурет).

7-сурет

Шешуі. (L) сызығы үш шеңбердің доғаларынан құралады:

AB   L1 : z  0, x 2  y 2  R 2 ,

x  0, y  0.

BC   L2 : x  0, y 2  z 2  R 2 , y  0, z  0.

CA   L3 : y  0, x 2  z 2  R 2 ,

x  0, z  0.

Демек, Ц  

( M ) dr  





a

adr 

adr 

adr.

( L )

L1



L2



L3



Бұл интегралдарды есептеу үшін параметрлік түрге көшіп, (31) – формуланы пайдаланған ыңғайлы болады. Алдымен









adr 

z  0, x  R cos t , y  R sin t

0

 t 







L1





2







 R 2 sin 2 ti  R 2 cos 2 t



 R sin ti  R cost

dt 

j

k

j

L1





 R 3 2 sin 3 t  cos 3 t dt 

4

R3 ,

3

0

L2  сызығында: 

, dr    y 3 dx  x 2 dy  dz  dz , себебі x  0 ,

dx  0 .

a

Демек, параметр ретінде z-ті алған ыңғайлы болады. Мұнда 0  z  R.

36

Сөйтіп,



R

adr  dz  R,

L2



0

L3  сызығында: 

, dr  dz. Мұнда z, R-ден нөлге дейін өзгереді.

a

Демек,



0

adr  dz  R.

L3 

R

Сонымен,



4

R 3

 R  R 

4

R3.

adr 

( L)

3

3

4-мысал.

a

 yi

 x j векторлық өрісінің АВОА

тұйық сызығы

(8­сурет) бойынша

алынған циркуляциясын

табыңдар.

Мұндағы АВ –

2

2

2

x  R cos3 t,

y  Rsin 3 t

x

 y

 R

немесе

теңдеуімен анықталатын

3

3

3

астроиданың доғасы.

8-сурет

Шешуі. Бұл есепті шешу үшін Стокс формуласын пайдаланамыз:

Ц  _ Pdx  Qdy  Rdz  _rot a , n  dS,

( L ) S

мұндағы (S ) – (L) контурына керілген бет. (S) беті үшін XOY жазықтығындағы жазық АВОА фигурасын алған ыңғайлы болады. Алдымен rot a -ны есептейік:

i

j

k

rot









 2

.

a

k

x

y

z

y

 x

0

37

Берілген бетке жүргізілген оң нормаль oz өсімен беттеседі, сондықтан n  k және

Ц    rot a , n  dS     2 k , k dS  2 dS  2 S,

S			S		S
мұндағы S, АВОА фигурасының ауданы, ол
S  R ydx  3 R 2 0 sin 4 t cos 2 tdt 				3		 R2 .
				32
0			
			2
Сонымен, Ц  2 S  		3	 R2 .
	16

5-мысал. A( M )  xyzi  ( x  y  z ) j  x ² y ² k векторлық өрісінің мынадай теңдеулермен:

 x  y  a; x  y  a; x  y  a; x  y  a; z  0

анықталатын ABCDA (9-сурет) квадратының контуры бойынша алынған циркуляциясын табыңдар.

9-сурет

Шешуі. 1 – тәсіл.

Циркуляцияның анықтамасы бойынша (33 – формула):

Adr  xyzdx  ( x  y  z ) dy 

Ц  

 

Adr 

 x 2 y 2 dz  ( x  y ) dy, себебі

Adr   Adr   Adr   Adr 

( L )

z

 0, dz  0

AB

BC

CD

DA

  ( x  y ) dy   ( x  y ) dy   ( x  y ) dy   ( x  y ) dy 

AB

BC

CD

DA

 a

(2 y  a ) dy  0

ady 

a (2 y  a ) dy  0

(  a ) dy  2 a2.

0

a

0

a

38

2 – тәсіл. Стокс формуласы бойынша

Ц  _rot A, n  dS,

( S )

мұндағы (S), (L) контурымен қоршалған бет. A векторының роторын есептейік:

i j k



















rot

A



 

2 x 2 y  1 i 

2 xy 2

 xy

j



1

 xz

k.

x

y

z

xyz

x  y  z

 x

2 y2

(S) беті үшін ABCD квадратын аламыз. Стокс формуласындағы n нормаль векторы (k) -ға тең (контурды айналу бағыты сағат тілінің

қозғалу бағытымен дәл келеді). Демек,

rot A, n   xz 1, ал z  0 екендігін ескерсек, онда rot A, n  1.

Сонымен, Ц   _dS   S _ABCD  2a² .

( S )