§4. Векторлық өріс. Негізгі ұғымдар

Егер (V) аймағының әрбір М нүктесіне толық анықталған А(М )

векторы сәйкес келетін болса, онда (V) аймағында векторлық өріс берілген деп айтады.

Декарт координаталар жүйесінде берілген А(М ) векторлық өрісі (V) аймағында анықталған P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) функциялары арқылы өрнектеледі:

А( М )  P ( x, y , z )i  Q( x, y , z ) j  R ( x, y , z ) k .

Бұл функциялардың бүкіл (V) аймағында үзіліссіз дербес туындылары болсын деп ұйғарамыз.

Жазық векторлық өрістер үшін

А(М )  P(x, y)i  Q(x, y) j

теңдігі орындалады.

Егер

(М )  (r) 

 (r)  r 

теңдігі орындалатын болса, онда

А

r

r 0

векторлық өріс сфералық симметриялы деп аталады. Мұндағы

 M

r

нүктесінің радиус-векторы,



,



r

r 

r

x 2  y 2  z2

r 0

– радиус-векторы бойынша бағытталған

r

бірлік вектор.

Анықтама. Егер А(М ) векторы L сызығының

әрбір нүктесінде

онымен жанасатын болса, онда L

сызығы берілген

А(М )

өрісінің

векторлық сызығы деп аталады.

14

Векторлық өрістің әрбір нүктесі арқылы ( А(М )  0 болғанда) бір ғана

векторлық сызық өтеді. Барлық векторлық сызықтардың жиынтығы дифференциалдық теңдеулердің жүйесі арқылы анықталады:

dx		dy		dz
					.
P ( x , y , z )		Q ( x , y , z )		R ( x , y , z)

Жазық векторлық өріс жағдайында векторлық сызықтардың үйірі төмендегідей теңдеулермен анықталады:

dx		dy	, dz  0 .
P ( x , y , z )		Q ( x , y , z)

Кез келген екі А(М ) және B(М ) пропорционал векторлық өрістердің:

B( М )  u ( M )  A( M ) ( u ( M ) скалярлық өріс)

векторлық сызықтары бірдей болады.

F (M ) күш өрісінің векторлық сызықтарын әдетте күш сызықтары, ал ағынды сұйықтардың жылдамдық өрісінің векторлық сызықтарын ток

сызықтары деп атайды.
Егер сұйықтардың ағыны потенциалды болса, яғни 	жылдамдық
векторын былайша жазуға болатын болса:   grad  ,	онда ток

сызықтарының үйірін төмендегідей теңдеу түрінде жазуға болады:

dx



dy



dz

.







x

yz

Мұндағы (x, y, z)  жылдамдықтың скаляр потенциалы.

1-мысал.

( M )  axi  ay

( a  Const ) – өрісінің векторлық

F

j

 2azk

сызықтарын табыңдар.

Шешуі. Берілген жағдайда векторлық сызықтардың дифференциал-дық теңдеулері былайша жазылады:

^dx_ax   ^dy_ay   ₂^dz_az .

^dx_ax   ^dy_ay теңдеуін интегралдаймыз.

Сонда

ln x  ln y  ln c₁ немесе xy  c₁

15

dy



dz

 ln

y



1

ln

z

 ln c  y 2

 c  z .

ay 2 az

2

2

2

Демек, гиперболалық және параболалық цилиндрлердің қиылысу сызықтары өрістің векторлық сызықтары болып табылады.

2-мысал. Сфералық координаталарда берілген өрістің векторлық сызықтарын табыңдар:

	( M ) 	2 a cos 				a sin			.
A				e				e
		 3
						3

Шешуі. Сфералық координаталар жүйесінде берілген векторлық сызықтардың дифференциалдық теңдеулерінің түрі мынадай болады:

d 		 sin d		 d	,
A		A		A
				

немесе біздің жағдайымызда:

d 



 sin d 



 d

.

2 a cos 

0

a sin

 3

3

Бұдан d  0 , немесе   Const ,

 3 d 



 4 d

,

2 a cos 

a sin

немесе

d 



2 cos d



  c sin2  .



sin

Сонымен, векторлық сызықтардың теңдеулері:

  c sin²  ,   Const .