§2. Скалярлық өріс градиенті

u(P)  u(x, y, z) скалярлық өрісінің градиенті былайша анықталады:

gradu 	u i 	u			u		.	(2)
			j			k
	x	y			z

Өрістің математикалық теориясында былайша белгіленетін





i 









j

k

y

x

z

символы кең түрде қолданылады. Ол

форма

жағынан

базистік

орттар

i ,

, k 

бойынша жіктелетін

векторға

ұқсас

болып

келеді.

Мұнда

j

вектордың координаталарының орнына дифференциалдау операторлары:



,



,



жазылады.

х

y

z

Бұл өрнекті векторлы дифференциалды оператор немесе Гамильтон

операторы деп атайды.

Анықтама бойынша:

u 



iu 





ju 





ku  түрінде жазылады.



x

y

z

u мәнін,  операторының u(P) – скалярлық өрісіне қолдану амалы деп қарастыруға болады. Бұл формуланы, мұндағы i, j, k -лардың – тұрақты

орттар екендігін ескеріп, одан кейін скалярлық және векторлық көбейткіштердің орындарын ауыстырып, төмендегідей түрде жазуға болады:

u  i

u



u



u 

u i 

u



u

.

(3)



j

k

j

k

x

y

z

x

y

z

(3) – формуланы (2) – формуламен салыстыра келіп, скалярлық өрістің градиентін

gradu  u

6

M (2;1)

теңдігі түрінде жазуға болатындығын көреміз.

u(P) скалярлық өрісінің градиенті u ( x, y , z )  Const деңгей бетіне белгілі бір нүктеде жүргізілген нормальдің бойымен бағытталады. Демек,

градиент арқылы

F ( x, y , z )  Const

бетіне жүргізілген нормальдің n

бірлік

векторын табуға болады:

n 

gradu

,

(4)

gradu

мұндағы u  F ( x, y , z) .

Градиенттің негізгі қасиеттерін қарастырайық.

1.

grad c  0 ;

c  0 , ( c  Const )

(5)



2.





  gradu   grad,

grad

 u  







 u  

 



u

 



 ,

(6)

мұндағы ,  – тұрақты шамалар.

3.

grad u      gradu  u grad ,

 u     

u  u

 ,

(7)







мұндағы u,  – скалярлық өрістер.











4.

gradF u ( P )



F

u ( P )  grad u ( P),



(8)

F u   F (u ) u .

5. Сфералық симметриялы өріс үшін grad r 

r

,

r

r 

,

r 

r

,

x 2  y 2  z2



r





r

r

r  xi

 y j  zk

мұндағы

–

бағытындағы бірлік вектор. Бұл векторды 



r

 r 

к өбінесе r ⁰ деп белгілейді. Жалпы жағдайда сфералық симметриялы өріс үшін



r



r

(8')

,

grad  ( r )   ( r ) r

 ( r )   ( r ) r .

Бұл формула (8) – формуланың дербес жағдайы болып табылады.

1-мысал. u ( x, y )  4  x ²  y² – скалярлық өрісінің

нүктесіндегі градиентін табыңдар. Шешуі. (2) – формула бойынша:

7

gradu  u i 

u

j ,

x

y

u



x



2

,

x

3

4  x 2  y2

M ( 2;1)

M ( 2;1)

u



y



1

.

y

M ( 2;1)

4  x 2  y2

M ( 2;1)

3

Сонда grad u ( x, y )

M ( 2;1) 

2

i 

1

j

.

3

3

2-мысал. grad 

,

 табыңдар.

c

r

Мұндағы

 тұрақты вектор,

 xi  y

– радиус вектор.

c

r

j

 zk

Шешуі. Айталық,

  i  

 

– болсын делік.

c

j

k

Сонда 

,

   x   y   z .

с

r













Демек,

grad

с, r





с, r





 x   y   z

 



x  



y  



z .

x  i ,

y 

,

z 

болатындығын ескеріп,





j



k

grad c, r    i  

 



.

j

k

c

3-мысал.

u ( x, y , z )  x 2  y 2  2xy  z2

функциясының

N (1; 1; 0)

нүктесіндегі ең үлкен өсу бағытын табыңдар.

Шешуі. u функциясының ең үлкен өсу бағыты сол функцияның градиентінің бағытымен дәл келеді. Функцияның дербес туындыларының N нүктесіндегі мәндерін табайық:

u		 (2 x  2 y)	 4 ,	u		 ( 2 y  2 x)		 0 ,
x	N		N	y	N			N

u		 2z	 0.
z	N		N

Бұдан grad u ( x , y , z )  4i , яғни функцияның ең үлкен өсу бағыты ОХ

N

өсінің оң жарты бағытымен дәл келетіндігі шығады.

4-мысал. x ²  y ²  r² – цилиндріне жүргізілген нормальдің бірлік векторын анықтаңдар.

Шешуі. (4) – формула бойынша:

8

n 			grad u			.
			grad u

grad u -ді табу үшін u(x, y, z)  x2				 y2 функциясының дербес
туындыларын табу қажет:
u	 2 x ,	u	 2 y,	u	 0.
x		y		z

Сонда grad u  2 xi  2 y j ,

grad u  2 x ²  y ²  2r .

Демек, n  ^{xi  y j} . r

5-мысал. grad .    grad  grad  теңдігін дәлелдеңдер. Мұнда ( x, y , z) ,  ( x, y , z) – скалярлық функциялар.

Шешуі. Бұл теңдікті дәлелдеу үшін символикалық әдісті пайдаланайық. Ол үшін теңдіктің сол жағын (. ) түрінде жазайық. Сонда

(. )   (. )   (. ).

Бұл жерде  белгісі,   операторы тек қана  функциясына әсер

						Осыған ұқсас		 операторы тек қана 
ететіндігін	білдіреді.						
функциясына әсер етеді деп түсінеміз.
Сөйтіп,			 .			      grad ,
		
			 .			      grad  ,
		
Яғни				(. )   grad   grad  ).
		

Дәлелдеу керегі осы еді.