Обнаружение грубых погрешностей в результатах измерений

Для выявления грубых погрешностей (промахов) в результатах измерений задаются вероятностью  того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений. Эту вероятность называют уровнем значимости, =1-Р.

Обычно  выбирают равным 0,1 или 0,05. В ряду результатов измерений определяют Х_сомн (наибольшее или наименьшее значение) и вычисляют отношение

, (3.1)

где и s – среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение, рассчитываемые по формулам

(3.2)

(3.3)

Далее  сравнивают с табличным значением критерия _т (табл. 3.1) при заданном значении  и числе измерений n. Если окажется, что _т, то в результатах отсутствует грубая погрешность, в противном случае (_т), результат Х_сомн содержит грубую погрешность и его из дальнейшей обработки исключают.

Таблица 3.1

Значения _т

n			n	
	0,1	0,05		0,1	0,05
3	1,412	1,414	12	2,387	2,519
4	1,689	1,710	13	2,426	2,563
5	1,869	1,917	14	2,461	2,602
6	1,996	2,067	15	2,494	2,638
7	2,093	2,182	16	2,523	2,670
8	2,172	2,273	17	2,551	2,701
9	2,238	2,349	18	2,577	2,728
10	2,294	2,414	19	2,601	2,754
11	2,343	2,470	20	2,623	2,779

Пример. Определить, содержится ли грубая погрешность в следующих результатах шестикратного взвешивания изделия (г) при уровне значимости =0,05.

72,365; 72,357; 72,352; 72,356; 72,344; 72,340.

Решение. Рассчитаем и s по формулам (3.2) и (3.3):

= 72,352 г, s = 0,0091 г.

Х_сомн =72,365. Вычислим  по формуле (3.1)

По табл. 3.1 при =0,05 и n=6 найдем _т=2,067.

Ответ: грубых погрешностей в результатах нет.

Если число измерений велико (n25), то выявление грубых погрешностей можно проводить по правилу трех сигм (см. формулу (1.12)).

Обработка результатов измерений

Однократные прямые измерения

При однократных прямых показание средства измерения Х_изм является результатом измерения, а погрешность используемого средства определяет погрешность результата. Необходима уверенность в том, что субъективная погрешность и погрешность выбранного средства измерения мала по сравнению с допускаемой погрешностью измерения. Вопросы выбора средств измерений рассмотрены выше.

При однократном измерении получают одно значение отсчета Х_изм и результат записывают в виде

Х_изм _си,

где _си – погрешность средства измерения.

Многократные прямые измерения

Общая последовательность обработки результатов измерений в соответствии с ГОСТ 8.207 состоит из следующих этапов.

Этап 1. Вычисление среднего арифметического значения по формуле (3.2).

Этап 2. Расчет среднего квадратического отклонения s по формуле (3.3).

Этап 3. Проверка наличия грубой погрешности в результатах (см. выше). Если она обнаружена, то этот результат следует отбросить и повторить этапы 1 и 2.

Этап 4. Проверка соответствия результатов измерений закону нормального распределения (см. ниже).

Этап 5. Вычисление среднего квадратического отклонения среднего арифметического по формуле

(3.4)

Этап 6. Определение коэффициента Стьюдента t_p при заданном значении доверительной вероятности Р и числе результатов измерений n по табл. 1.5.

Этап 7. Определение доверительных границ случайной погрешности  при заданном значении доверительной вероятности Р по формуле

(3.5)

Этап 8. Определение границ неисключенной систематической погрешности  результата измерения по формуле.

(3.6)

где m - число составляющих погрешности

Неисключенная систематическая погрешность образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерений, субъективные погрешности. Эти составляющие погрешности находят нестатистическими методами.

Этап 9. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерений . Данная операция осуществляется путем суммирования случайной составляющей погрешности  и неисключенной систематической составляющей погрешности . При этом вычисляют отношение

и в зависимости от полученного значения определяют погрешность результата измерения  по правилам, изложенным в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Определение погрешности результата измерения 

Значение	Погрешность результата измерения 
0,8	 = 
8	 = 
0,8 8	где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей, S - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения К и S рассчитывают по формулам ;

Этап 10. Запись результата измерений с учетом правил округления в виде

  при доверительной вероятности Р и числе измерений n.

Пример. Необходимо произвести обработку результатов измерений сопротивлений катушки сопротивления при заданной доверительно вероятности Р=0,95. Значения сопротивления Х_i (МОм) приведены в табл. 3.3. Погрешность средства измерения равна 1 МОм.

Таблица 3.3

Результаты измерений и вычислений

№	Хi	Хi-
1	390	-1,7	2,89
2	391	-0,7	0,49
3	395	3,3	10,89
4	392	0,3	0,09
5	389	-2,7	7,29
6	398	6,1	37,21
7	388	-3,7	13,69
8	389	-2,7	7,29
9	393	1,3	1,69
10	394	2,3	5,29
	391,9	0	86,82

Решение. По формулам (3.2) и (3.3) вычислим среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение

МОм

МОм

Проверим, имеется ли в результатах грубая погрешность (Х_сомн=398). По формуле (3.1) вычислим 

При =0,05 и n=10 _т=2,414. _т, следовательно, грубых погрешностей в результатах нет.

Вычислим по формуле (3.4).

МОм

Для Р=0,95 и n=10 коэффициент Стьюдента t_р = 2,26 (табл. 1.5).

По формуле (3.5) находим доверительную границу случайной погрешности:

Имеется одна составляющая неисключенной погрешности (погрешность средства измерения), т.е. m=1. Следовательно, граница неисключенной систематической погрешности =1 МОм

Вычислим отношение

В соответствии с правилами, указанными в табл. 3.2, погрешность результата измерения  составляет

2,34

Запишем результат измерений, учитывая рекомендации по округлению: (391,9  2,3) МОм при Р=0,95 и n=10.

Однократные косвенные измерения

При косвенных измерениях искомую величину Q не измеряют непосредственно, а вычисляют по результатам измерений других величин на основании известной функциональной зависимости

Q = f (X₁, X₂,…X_m) (3.7)

где X₁, X₂,…X_m – величины-аргументы, подлежащие прямым измерениям

Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально.

Значение величины Q определяют согласно уравнению (3.7). Абсолютные погрешности величин-аргументов , , … определяют исходя из значения погрешностей средств измерений. Затем вычисляют значение погрешности _Q искомой величины

(3.8)

где - - частные производные по составляющим аргументам

Результат измерения записывают в виде

Q  _Q

Многократные косвенные измерения

Последовательность обработки результатов многократных косвенных измерений для некоррелированных величин Х₁, Х_2, …X_j,…X_m (m – число величин-аргументов) состоит из ряда этапов.

Этап 1. Вычисление средних арифметических значений , ,… ,… для каждой из измеряемых прямым методом величин Х₁, Х_2, …Х_j… X_m по формуле (3.2).

Этап 2. Определение результата косвенного измерения по известной функциональной зависимости

.

Этап 3. Расчет средних квадратических отклонений , ,… для каждой из измеренных величин Х₁, Х_2, …X_j,…X_m по формуле (3.3).

Этап 4. Расчет средних квадратических отклонений , ,… по формуле (3.4).

Этап 5. Вычисление среднего квадратического отклонения для искомой величины Q по формуле

(3.9)

где , ,… - частные производные по составляющим аргументам.

Этап 6. Определение коэффициента Стьюдента t_p по табл. 1.5 при заданном значении доверительной вероятности Р и эффективном числе степеней свободы k_эф, которое используют вместо n. k_эф определяют по формуле

(3.10)

где n_j – число измерений j-ой величины-аргумента.

Если все величины-аргументы измерены одинаковое число раз n, то k_эф=n.

Этап 7. Определение доверительных границ случайной погрешности  по формуле

.

Этап 8. Определение границ неисключенной систематической погрешности  результата измерения по формуле (3.6).

Этап 9. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерений . При этом вычисляют отношение и в зависимости от полученного значения определяют  по правилам, изложенным в табл. 3.2.

Этап 10. Запись результата измерений с учетом правил округления в виде

при доверительной вероятности Р и числе измерений n.

n указывают для того аргумента, при измерении которого выпол­нено наименьшее число наблю­дений.

Рекомендуемые правила по округлению результатов измерений

Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. Погрешность измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной цифрой – если первая 3 и более.

Результат измерения округляют до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Например: (5,08  0,12) м; (25,1  0,4) С; (6,046  0,008) с.

Округление производят лишь в окончательном ответе, а все промежуточные вычисления проводят с одним или двумя лишними знаками.