Завдання для перевірки знань

1. Розкладаючи визначник по рядку або стовпчику, складених з букв, обчислити:

1. б)

Відповідь: а) 8а + 15b + 12c – 19d ; б) 2a – 8b + c 5d .

2. Обчислити визначники:

1. б) в)

Відповідь: а) 90, б) 27, в) 52.

1.2. Матриці і операції над ними

Прямокутна таблиця, складена із елементів , ( , ) утворюють рядків та стовпців, називається матрицею і записується у вигляді

(1.6)

Елементи матриці нумеруються 2 індексами . Перший індекс елемента означає номер рядка, а другий − номер стовпця, на перетині яких знаходиться цей елемент в матриці.

Елементи з однаковими індексами утворюють головну діагональ матриці.

Матриці позначають прописними літерами латинського алфавіту: А, В, С, … Якщо у матриці рядків і стовпців, то за означенням вона має розмірність . Матриця називається числовою, якщо її елементи - числа; функціональною, якщо - функції; векторною, якщо - вектори, і т. д. Матриці А і В називаються рівними, якщо всі їх відповідні елементи і рівні, тобто = . Отже, рівними можуть бути тільки матриці одної розмірності. Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком (ковектором), а матриця, у якої всього один стовпець – матрицею-стовпцем (контравектором). Їх також називають вектор-рядком і вектор-стовпцем відповідно. Діагональною називається матриця, у якої всі елементи, що не належать головній діагоналі, рівні нулю. Наприклад,

- діагональна матриця третього порядку.

Одинична матриця – це діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі рівні 1. Позначається одинична матриця літерою E або I.

- одинична матриця третього порядку.

Якщо всі елементи матриці, що знаходяться нижче або вище головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Матрицю називають транспонованою до , якщо . Якщо матриця А розміром , то матриця має розміри . Наприклад,

, .

Якщо в має місце рівність , то матриця називається симетричною.

Якщо , то називається антисиметричною. В антисиметричної матриці головна діагональ складається з нулів. Наприклад,

- симетрична матриця третього порядку.

До кожної квадратної матриці розмірності можна скласти визначник . Його обчислюють за правилами, які розглянуті в п.1.1. Зазначимо, що прямокутна ( ) матриця визначника не має.

Розглянемо основні дії над матрицями.

1. Додавання і віднімання матриць. Ця дія визначена тільки для матриць одної розмірності. Сумою (різницею) матриць і , що позначається (А-В), називається матриця С такого ж розміру, елементи якої , де , - відповідно елементи матриць А і В. Наприклад, нехай

.

Тоді

, .

2. Множення матриці на число. Добутком матриці на число (позначається ) називається матриця тієї ж розмірності, елементи якої , де - елементи матриці , тобто при множенні матриці на число (числа на матрицю) потрібно всі елементи матриці помножити на це число. Наприклад, нехай

.

Тоді

.

3. Множення матриць. Дія множення двох матриць вводиться тільки для узгоджених матриць. Матриця називається узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці . З узгодженості матриці з , взагалі кажучи, не випливає узгодженість з . Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці : = ; , ; . Із існування добутку не випливає існування добутку . У випадку його існування, як правило . Якщо , то матриці і називаються перестановочними (або комутуючими). Відомо, що завжди .

Приклад 4. Знайти і , якщо:

, .

Розв’язання. Маємо:

,

де

В результаті .

Далі знаходимо

,

де

Маємо:

.

Отже, .

Приклад 5. Задано матриці: . Знайти і .

Розв’язання. Маємо:

,

.

Отже, .

Приклад 6. Знайти , якщо:

Розв’язання. Маємо:

,

тобто .